Физические и математические модели. Математическое моделирование физических процессов

Cтраница 3

Из сказанного ясно, что физическое и математическое моделирование (или, что то же самое, физическое и математическое исследование) физико-химических процессов нельзя осуществить независимо друг от друга. Математическое описание и математическая модель появляются в результате физического исследования (моделирования) процессов. Поскольку математическое моделирование не является самоцелью, а служит средством для оптимального осуществления процесса, то результаты его используются для создания оптимального физического объекта. Исследования на этом объекте (новое физическое моделирование) позволяют проверить результаты математического моделирования и улучшить математическую модель для решения новых задач.

В книге рассмотрено применение методов физического и математического моделирования для решения ряда технических проблем, возникающих в инженерной практике при разработке, масштабировании и управлении химическими процессами нефтепереработки.

Относительная роль и взаимосвязь методов физического и математического моделирования при исследованиях - в определенной мере вопрос конъюнктурный, зависящий от уровня развития вычислительной техники, прикладной математики и техники экспериментальных исследований. Еще сравнительно недавно (до появления и внедрения в практику ЭВМ) физическое моделирование было основным методом перехода от пробирки к заводу.

Следует остановиться и на трудностях физического и математического моделирования колонных аппаратов, так как в данном елучае имеется двухфазная система с тяжеломоделируемыми и рассчитываемыми моментами межфазных переходов. Струйное впрыскивание и барботаж газа создают сложную гидродинамическую картину в колонных аппаратах. Даже самая упрощенная (квазигомогенная) модель колонных аппаратов приводит к нелинейным системам уравнений в частных производных, анализ которых в настоящее время даже с использованием средств электронно-вычислительной техники представляет определенные трудности.

Приводится краткий обнор работ по физическому и математическому моделированию процессов филътрагдаи в газовых и газо-конденсатках месторождению. Определяются основные направления предстоящих исследований по каждому из видев моделирования.

Из существующих методов наиболее широко применяется физическое и математическое моделирование. Это деление является условным, так как оба метода моделируют физические величины посредством самих физических величин. Различие заключается в том, что в первом случае моделирование осуществляется с помощью физических величин той же природы, во втором - физический процесс одной природы заменяется физическим процессом другой природы, но так, что оба физические явления подчиняются одинаковым законам. Они признаются аналогичными и математически описываются уравнениями одинаковой структуры. Так, электрическая система с индуктивностью, емкостью и сопротивлением может быть математической моделью колеблющегося на пружине груза. Здесь зарядка конденсатора, а затем его разрядка вследствие замыкания через сопротивление и емкость аналогичны отклонению груза от положения равновесия и последующего затухающего колебания.

В современной экспериментальной практике широко применяют физическое и математическое моделирование, которое незаменимо в тех случаях, когда нельзя определить параметры машин расчетными методами, а построение их опытных образцов для экспериментального исследования требует больших материальных затрат и времени.

При проектировании разработки газоконденсатных месторождений проводят комплексное физическое и математическое моделирование процесса дифференциальной конденсации пластовых смесей. В результате этих исследований получают величину давления начала конденсации, прогнозные данные о динамике выпадения и последующего испарения жидкой фазы при уменьшении давления, составе и свойствах добываемой смеси, коэффициентах конденсато - и компонентоотдачи.

Во многих случаях целесообразно комбинировать установки физического и математического моделирования в единую систему, позволяющую совместить преимущества обоих методов.

Эта теория, основанная на сочетании физического и математического моделирования, исходит из того, что указанный выше масштабный эффект обусловлен преимущественно ухудшением структуры потоков с увеличением размеров аппарата, и прежде всего - возрастанием неравномерности распределения скоростей по поперечному сечению аппарата.

Формирование физико-геологической модели базируется на результатах физического и математического моделирования. Так, при физическом моделировании создаются искусственные модели с близкими к горным породам физическими свойствами и с соблюдением условий подобия, при математическом моделировании рассчитываются физические поля для заданных физических свойств с использованием соответствующих уравнений теории потенциальных полей или дифференциальных волновых уравнений.

В чем состоит принципиальное различие между физическим и математическим моделированием.

Этот вывод подтверждается многочисленными опытами, физическим и математическим моделированием контура.

При разработке новых процессов и аппаратов применяют физическое и математическое моделирование.

Необходимо иметь в виду, что нельзя противопоставлять физическое и математическое моделирование.

Научной базой применения концептуальных, конструкторских, технологических и материаловедческих решений для всех этапов создания машин и конструкций должны стать принципы и методы физического и математического моделирования.

Физическое и математическое моделирование в машиностроении базируется на общих подходах, развиваемых на основе фундаментальных наук, прежде всего математики, физики, химии и др. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент становятся новым методом анализа сложных машин, рабочих процессов и системы машина - человек - среда. Физическое и математическое моделирование проводится в несколько стадий.

Начинается моделирование с постановки и уточнения задачи, рассмотрения физических аспектов, определения степени влияния на моделируемые процессы различных факторов в программируемых условиях функционирования моделируемых систем или процесса. На этой основе строится физическая модель. Затем на ее базе строится математическая модель, включающая в себя математическое описание моделируемого процесса или механической системы в соответствии с закономерностями кинематики и динамики, поведения материалов под действием нагрузок и температур и т. д. Модель исследуется по таким направлениям, как соответствие поставленной задаче, существование решения и т. п.

На следующей стадии выбирается вычислительный алгоритм решения задачи моделирования. Современные численные методы позволяют снять ограничения на степень сложности математических моделей.

Далее осуществляется программирование вычислительного алгоритма для ЭВМ . При этом создаются проблемно-ориентированные пакеты прикладных программ, позволяющие на их основе создавать сложные программы для комплексного описания процессов, машин и систем машин.
На следующей стадии выполняются расчеты на ЭВМ по разработанным программам. Существенное значение при этом имеет рациональное представление конечных результатов. Завершающая стадия предусматривает анализ полученных результатов, сопоставление их с данными физических экспериментов на натурных образцах изделий. В случае необходимости ставится задача уточнения выбранной математической модели с последующим повторением указанных выше стадий.

После завершения работ по физическому и математическому моделированию формируются общее заключение и выводы по конструкторским, технологическим и эксплуатационным мероприятиям, связанным с созданием новых материалов и технологий, обеспечением условий надежной и безопасной работы машин, удовлетворением требований эргономики и экологии. Создание новых машин и конструкций с повышенным уровнем рабочих параметров, экологических и эргономических требований представляет собой сложную комплексную проблему, эффективное решение которой базируется на физическом и математическом моделировании. Общая схема использования моделирования на различных этапах создания машин представлена на картинке ниже.

Разработка эскизного проекта предусматривает построение физических моделей на основании опыта создания прототипов. Математические модели включают новые знания об анализе и синтезе структурных и кинематических схем, о динамических характеристиках взаимодействия между основными элементами с учетом рабочих сред и процессов. На этом же этапе формируются и решаются в общем виде вопросы экологии и эргономики.

При разработке технического проекта должен осуществляться переход к физическим моделям основных узлов, испытываемым в лабораторных условиях. К математическому обеспечению технического проекта относятся системы автоматизированного проектирования.
Создание принципиально новых машин (машин будущего) требует совершенствования методов математического моделирования и построения новых моделей. Это в значительной мере относится к уникальным объектам новой техники (атомная и термоядерная энергетика, ракетная, авиационная и криогенная техника) , а также к новым технологическим, транспортным аппаратам и устройствам (лазерные и импульсные технологические установки, системы на магнитной подвеске, глубоководные аппараты, адиабатные двигатели внутреннего сгорания и др.) . При этом для реализации задач математического моделирования необходимы сверхмощные ЭВМ и дорогостоящие программы.
На этапе рабочего проектирования физическое моделирование предполагает создание макетов и испытательных стендов для проверки конструкторских решений. Математическая сторона этого этапа связана с разработкой автоматизированных систем подготовки технической документации. Математические модели уточняют по мере детализации и уточнения граничных условий задач конструирования.

Одновременно с проектированием решаются конструкторско-технологические задачи выбора материалов, назначения технологий изготовления и контроля. В области конструкционного материаловедения используют экспериментальное определение физико-механических свойств на лабораторных образцах как при стандартных испытаниях, так и при испытаниях в условиях, имитирующих эксплуатационные. При изготовлении высокоответственных деталей и узлов из новых материалов (высокопрочные коррозионно- и радиационно стойкие, плакированные, композиционные и др.) необходимо проводить специализированные испытания по определению предельных состояний и критериев повреждения. Математическое моделирование используют для построения имитационных моделей механического поведения материалов в различных условиях нагружения с учетом технологии получения материалов и формообразования деталей машин. Имитационные модели используют при выполнении сложного математического анализа тепловых, диффузионных, электромагнитных и других явлений, сопутствующих новым технологиям.

На основе физических и имитационных моделей получают сложный комплекс физико-механических свойств, характеристики которых должны использоваться при создании на базе ЭВМ банков данных о современных и перспективных материалах.
На этапе разработки технологии изготовления деталей, узлов и машин в целом физическое моделирование используют при лабораторной и опытно-промышленной отработке технологических процессов как традиционных (механообработка, литье и др.) , так и новых (лазерная обработка, плазменная, взрывная, магнитно-импульсная и др.) .

Параллельно с технологическими процессами разрабатываются физические модели, а также принципы контроля и дефектоскопии материалов и готовых изделий. Математические модели технологических процессов позволяют решать сложные задачи теплопроводности, термоупругости, сверхпластичности, волновых и других явлений с целью рационального выбора для данных деталей эффективных методов и параметров обработки.

На этапе создания машин и конструкций , когда осуществляется доводка и испытания головных образцов и опытных партий, физическое моделирование предусматривает проведение стендовых и натурных испытаний. Стендовые испытания обеспечивают высокую информативность и сокращают сроки доводки опытных образцов изделий массового и крупносерийного производства. Натурные испытания* необходимы для оценки работоспособности и надежности уникальных изделий на предельных режимах. При этом задачами математического моделирования становятся алгоритмы и программы управления испытаниями. Анализ получаемой экспериментальной информации следует проводить на ЭВМ в реальном масштабе времени.

При эксплуатации машин физическое моделирование используют для диагностики состояния и обоснования продления ресурса безопасной работы. Математическое моделирование на этом этапе имеет- целью построение моделей эксплуатационных повреждений по комплексу принятых при проектировании критериев: Проработка таких моделей выполняется в настоящее время для объектов атомного и теплового энергетического машиностроения, ракетной и авиационной техники и других объектов.

Математическое моделирование позволяет автоматизировать управление рабочими режимами с помощью ЭВМ по заданным программам, обеспечить оптимальное регулирование переходных процессов и исключить с помощью автоматизированных систем защиты достижение предельных ситуаций, ведущих к аварийным отказам.

E) поощрять научные исследования, относящиеся к обеспечению сохранности фольклора.

SWOT - анализ и его применение в маркетинговых исследованиях.

Активное и реактивное сопротивление элементов сети (физический смысл, математическое определение), полное сопротивление сети.

Анализ возможных экологических и связанных с ними социальных, экономических и других последствий реализации альтернатив решений по объекту

Под объектом моделирования понимают любой предмет, процесс или явление, которые изучают методом моделирования. При изучении объекта учитываются только те свойства, которые необходимы для достижения цели. Выбор свойств объекта при построении модели является важной задачей на первых этапах моделирования.

Модель объекта – это:
1) такая мысленно представимая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна заменить его так, что её изучение даёт новую информацию об объекте.
2) объект - заместитель, который учитывает реальные свойства объекта, необходимые для достижения цели.

Основная функция модели – не только описание объекта, но и получение информации о нём.

Различают физическое и математическое моделирование.

Физи́ческое модели́рование - метод экспериментального изучения различных физических явлений, основанный на их физическом подобии . Метод применяется при следующих условиях:

Исчерпывающе точного математического описания явления на данном уровне развития науки не существует, или такое описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно.
Воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальных масштабах невозможно, нежелательно или слишком дорогостояще (например, цунами).

В широком смысле, любой лабораторный физический эксперимент является моделированием, поскольку в эксперименте наблюдается конкретный случай явления в частных условиях, а требуется получить общие закономерности для всего класса подобных явлений в широком диапазоне условий. Искусство экспериментатора заключается в достижении физического подобия между явлением, наблюдаемым в лабораторных условиях и всем классом изучаемых явлений.

Математическое моделирование , в широком смысле, включает исследования не только с помощью чисто математических моделей. Здесь используются также информационные, логические, имитационные и другие модели и их комбинации. В этом случае математическая модель представляет собой алгоритм, включающий определение зависимости между характеристиками, параметрами и критериями расчета, условия протекания процесса функционирования системы и т.д. Данная структура может стать моделью явления, если она с достаточной степенью отражает его физическую сущность, правильно описывает соотношение свойств и подтверждается результатами проверки. Применением математических моделей и вычислительной техники реализуется один из наиболее эффективных методов научных исследований - вычислительный эксперимент, позволяющий изучать поведение сложных систем, которые трудно физически смоделировать. Часто это связано с большой сложностью и стоимостью объектов, а в некоторых случаях невозможностью воспроизвести эксперимент в реальных условиях.

Эффективность применения информационных систем в сфере образования. Задачи, решаемые ИС в сфере образования. Специфика информационных потребностей преподавательского и управленческого персонала сферы образования. Основные показатели качества информационного обеспечения сферы образования и обоснование требований к их количественным значениям

В современном обществе применение информационных технологий во всех сферах жизнедеятельности стало обязательным сопровождающим компонентом. Особенно важная роль её применению отводится в области познания, изучения, т.е. в сфере образования. ИТ-технологии занимают одно из ведущих мест в интеллектуализации человека и общества в целом, повышении культурного и образовательного уровня каждого гражданина.

В последнее время в сфере образования информационные технологии, основанные на новейших компьютерных и аудиовизуальных достижениях науки и техники, находят все большее применение. Одним из эффективных направлений реализации образовательных услуг является использование различных форм обучения на основе информационных и обучающих технологий.

Помимо этого, стремление активно применять современные информационные технологии в сфере образования необходимо ориентировать на повышение уровня и качества подготовки специалистов. С каждым годом растет количество организаций и предприятий обращающихся на рынок образовательных услуг. В связи с этим в самых благоприятных условиях оказываются те учебные заведения, которые включают в себя довузовское, вузовское и послевузовское образование с использованием новых образовательных технологий.

В настоящее время все более возрастает роль информационно-социальных технологий в образовании, которые обеспечивают всеобщую компьютеризацию учащихся и преподавателей на уровне, позволяющем решать, как минимум, три основные задачи:

– обеспечение выхода в сеть Интернет каждого участника учебного процесса, причем, желательно, в любое время и из различных мест пребывания;

– развитие единого информационного пространства образовательных индустрий и присутствие в нем в различное время и независимо друг от друга всех участников образовательного и творческого процесса;

– создание, развитие и эффективное использование управляемых информационных образовательных ресурсов, в том числе личных пользовательских баз и банков данных и знаний учащихся и педагогов с возможностью повсеместного доступа для работы с ними.

Основными преимуществами современных информационных технологий являются: наглядность, возможность использования комбинированных форм представления информации - данные, стереозвучание, графическое изображение, анимация, обработка и хранение больших объемов информации, доступ к мировым информационным ресурсам, которые должны стать основой поддержки процесса образования.

Необходимость усиления роли самостоятельной работы обучаемого требует внесения существенные изменений в структуру и организацию учебного процесса, повышению эффективности и качества обучения, активизации мотивации познавательной деятельности в ходе изучения теоретического и практического учебного материала по той или иной дисциплине.

В процессе информатизации образования необходимо иметь в виду, что главный принцип использования компьютера - это ориентация на те случаи, когда человек не может выполнить поставленную педагогическую задачу. Например, преподаватель не может наглядно продемонстрировать большинство физических процессов без компьютерного моделирования.

С другой стороны, компьютер должен помогать развитию творческих способностей учащихся, способствовать обучению новым профессиональным навыкам и умениям, развитию логического мышления. Процесс обучения должен быть направлен не на умение работать с определенными программными средствами, а на совершенствование технологии работы с различной информацией: аудио- и видео-, графической, текстовой, табличной.

Современные мультимедиа технологии и инструментальные средства позволяют реализовать всю гамму компьютерных обучающих программ. Однако их использование требует от преподавателей достаточно высокой квалификации пользователя.

Научные исследования, связанные с созданием новых машин

Основными направлениями научных исследований, связанных с повышением качества, надежности и безопасности машин и оборудования, являются:

фундаментальные исследования в области новых рабочих процессов, ресурсосберегающих технологий и новых конструкционных материалов;

создание, освоение и внедрение современных методов конструирования машин, обоснования их оптимальных рабочих параметров, конструктивных форм;

получение новых материалов, разработка деталей, узлов и агрегатов с соблюдением требований по технологическим параметрам;

разработка новых метрологических методов, систем и средств;

проведение ускоренных и обычных испытаний на надежность и ресурс моделей и натурных изделий;

организация эксплуатации машин с заданной степенью надежности, безопасности, экономичности при соблюдении требований эргономики и экологии.

Первостепенное значение в современном машиностроении приобретают проблемы надежности и безопасности техники с учетом роли человеческого фактора.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент становятся новым методом анализа сложных машин, рабочих процессов и системы машина - человек - среда. Физическое и математическое моделирование проводится в несколько стадий.

Затем на ее базе строится математическая модель, включающая в себя математическое описание моделируемого процесса или механической системы в соответствии с закономерностями кинематики и динамики, поведения материалов под действием нагрузок и температур и т. д. Модель исследуется по таким направлениям, как соответствие поставленной задаче, существование решения и т. п.

На третьей стадии выбирается вычислительный алгоритм решения задачи моделирования. Современные численные методы позволяют снять ограничения на степень сложности математических моделей.

Далее используя современные математические пакеты программ, такие как MathCad, Matlab, которые обладают большим набором возможностей и функций и позволяют решать задачи как аналитическими, так и численными методами, проводят вычислительные эксперименты.

При проведении вычислений и получении результатов необходимо особое внимание уделять грамотности и правильности представления решений.

Завершающая стадия предусматривает анализ полученных результатов, сопоставление их с данными физических экспериментов на натурных образцах изделий. В случае необходимости ставится задача уточнения выбранной математической модели с последующим повторением указанных выше стадий.

В последнее время чисто математическое моделирование крайне редко встречается при проектировании и конструировании механизмов и деталей. Традиционное математическое моделирование при проектировании современных механизмов и деталей, заменяется на компьютерное моделирование. Основным методом применяемым современными программными продуктами является метод конечных элементов. Подобное моделирование помимо точности вычисления и наглядного представления о поведении объекта исследования в заданных условиях ускоряет процесс проектирования и уменьшает затраты на проведение исследований с физическими моделями.

Создание новых машин и конструкций с повышенным уровнем рабочих параметров, экологических и эргономических требований представляет собой сложную комплексную проблему, эффективное решение которой базируется на физическом и математическом моделировании.

Создание принципиально новых машин (машин будущего) требует совершенствования методов математического моделирования и построения новых моделей. Это в значительной мере относится к уникальным объектам новой техники (атомная и термоядерная энергетика, ракетная, авиационная и криогенная техника), а также к новым технологическим, транспортным аппаратам и устройствам (лазерные и импульсные технологические установки, системы на магнитной подвеске, глубоководные аппараты, адиабатные двигатели внутреннего сгорания и др.).

На этапе рабочего проектирования физическое моделирование предполагает создание макетов и испытательных стендов для проверки конструкторских решений. Математическая сторона этого этапа связана с разработкой автоматизированных систем подготовки технической документации. Математические модели уточняют по мере детализации и уточнения граничных условий задач конструирования.

На основе физических и имитационных моделей получают сложный комплекс физико-механических свойств, характеристики которых должны использоваться при создании на базе компьютеров банков данных о современных и перспективных материалах.

На этапе разработки технологии изготовления деталей, узлов и машин в целом физическое моделирование используют при лабораторной и опытно-промышленной отработке технологических процессов как традиционных (механообработка, литье и др.), так и новых (лазерная обработка, плазменная, взрывная, магнитно-импульсная и др.).

Параллельно с технологическими процессами разрабатываются физические модели, а также "принципы контроля и дефектоскопии материалов и готовых изделий. Математические модели технологических процессов позволяют решать сложные задачи теплопроводности, термоупругости, сверх пластичности, волновых и других явлений с целью рационального выбора для данных деталей эффективных методов и параметров обработки.

На этапе создания машин и конструкций, когда осуществляется доводка и испытания головных образцов и опытных партий, физическое моделирование предусматривает проведение стендовых и натурных испытаний. Стендовые испытания обеспечивают высокую информативность и сокращают сроки доводки опытных образцов изделий массового и крупносерийного производства. Натурные испытания необходимы для оценки работоспособности и надежности уникальных изделий на предельных режимах. При этом задачами математического моделирования становятся алгоритмы и программы управления испытаниями. Анализ получаемой экспериментальной информации следует проводить на компьютере в реальном масштабе времени.

При эксплуатации машин физическое моделирование используют для диагностики состояния и обоснования продления ресурса безопасной работы. Математическое(компьютерное) моделирование на этом этапе имеет целью построение моделей эксплуатационных повреждений по комплексу принятых при проектировании критериев: Проработка таких моделей выполняется в настоящее время для объектов атомного и теплового энергетического машиностроения, ракетной и авиационной техники и других объектов.

При расчете физических процессов составляется математическая модель - система уравнений, описывающая зависимости между физическими величинами при некоторых упрощающих допущениях. Например, при движении точки вблизи поверхности Земли полагается ускорение свободного падения постоянным, не зависящим от высоты расположения точки над поверхностью. Для тел, движущихся с небольшой скоростью или в разряженной атмосфере, пренебрегают сопротивлением воздуха. Само точка часто заменяют материальной точкой, т. е. размерами точки пренебрегают. Физические процессы описываются, как правило системой дифференциальных уравнений, для решения которой применяют различные численные методы (модели). Широко используется метод конечных разностей, в котором бесконечно малые приращения переменных заменяют малыми (конечными) приращениями.

Например, изменение параметра времени представляют в виде:dt=t 2 -t 1 , а изменение функции "Х": dX(t) = X(t)-X(t-dt) = X(t 2)-X(t 1) = X 2 -X 1 .

Рассмотрим задачу определения траектории точки, движущегося в некоторой плоскости под действием различных сил. Например, необходимо вычислить траекторию движения снаряда с учетом сопротивления воздуха или ракеты с учетом изменения ее массы, движущихся в поле тяготения Земли.

Координаты точки X(t), Y(t) в некоторый момент времени "t" можно определить, зная координаты точки X(t-dt), Y(t-dt) в предыдущий момент времени "t-dt" и изменение (приращение) координат dX, dY:

X(t) = X(t-dt) + dX(t),

Y(t) = Y(t-dt) + dY(t).

Если временной интервал выбрать достаточно малым, то можно полагать, что скорость точки на этом интервале не изменяется и приращения координат определяются по формулам:

dX(t) = Vx(t)dt,

dY(t) = Vy(t)dt.

Здесь Vx(t), Vy(t) - проекции скорости на оси координат.

Составляющие скорости Vx(t) и Vy(t) можно вычислить по формулам:

Vx(t) = Vx(t-dt) + Ax(t)*dt,

Vy(t) = Vy(t-dt) + Ay(t)*dt.

Здесь Ax(t), Ay(t) - проекции ускорения на оси координат.

Ускорение определяется силами, действующими на точка: ускорение равно равнодействующей силе, деленной на массу точки. Силы могут зависеть от координат точки, времени и скорости точки. Например, ускорение ракеты в поле тяготения планеты обратно пропорционально квадрату расстояния до центра планеты. При включении двигателя ракеты ускорение зависит от времени (программы работы двигателя). При движении в плотных слоях атмосферы на ракету действуют силы сопротивления воздуха, зависящие от скорости движения, т. е. ускорение зависит от скорости.

Приведем алгоритм расчета траектории движения точки:

1. Определяем силы, действующие на точка, и находим проекции ускорения на оси координат. В общем случае ускорение точки зависит от многих факторов и в момент времени t задается как функция от времени, скорости и координат точки:

Ax:= Fx(Vx, Vy, X, Y, t); Ay:= Fy(Vx, Vy, X, Y, t);

Где Vx, Vy, Ax, Ay - проекции скорости и ускорения.

2.Задаем начальное положение точки - координаты X, Y и начальную скорость и ускорение в виде проекций на оси координат:

X:= X0; Y:= Y0; Vx:= V*cos(fi); Vy:= V*sin(fi);

Ax:= Fx(Vx, Vy, X, Y, t);

Ay:= Fy(Vx, Vy, X, Y, t);

Где V - начальная скорость точки, fi - угол наклона вектора скорости к оси Х.

3. Задаем временной шаг dt и разбиваем весь временной интервал на N участков. При равномерной разбивке приращение времени определяется по формуле:

dt:= (t[N]-t)/(N-1); Здесь (t[N] - t) - время движения точки.

Выбор величины dt определяется необходимой точностью расчета, возможностями вычислительной техники, и может уточняться при решении задачи.

4.Вычисляем массивы скорости, ускорения и координат точки:

For i:= 2 to N do begin

Vx[i]:= Vx + Ax*dt;

Vy[i]:= Vy + Ay*dt;

X[i]:= X + 0.5*(Vx + Vx[i])*dt;

Y[i]:= Y + 0.5*(Vy + Vy[i])*dt;

Ax[i]:= Fx(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);

Ay[i]:= Fy(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);

{ уточняем скорость точки в расчетной точке }

VX[i]:= VX + 0.5*(Ax + Ax[i])*dt;

VY[i]:= VY + 0.5*(Ay + Ay[i])*dt;

Для уменьшения погрешностей расчетной схемы, скорость и ускорения на участке интерполируются средними значениями.

5. Строим траекторию движения точки . Здесь удобно использовать процедуры из библиотеки построения графиков GR_F. Следует определить расчетную область и область рисования траектории на экране. Траектория на экране рисуется процедурой: PutPixel_G(X[i], Y[i], N);

Для тестирования работы алгоритма рассмотрим задачу расчета траектории точки, движущегося из точки с координатами X, Y с начальной скоростью Vx, Vy под действием сил, вызывающих ускорение точки Ax, Ay. Следуя пунктам 1. . 5 приведенного выше алгоритма необходимо рассчитать траекторию движения точки и сравнить с траекторией точки, описанной аналитической зависимостью X(t), Y(t).

Практическое задание N 2. 22

N X 1 Y 1 Vx 1 Vy 1 Axi Ayi X(t) Y(t)

1 0 0 0 b 2*a -y a*t 2 b*sin(t)

2 0 0 a b 0 -y a*t b*sin(t)

3 1 0 1 1 -2*y 2*x e t * cos(t) e t *sin(t)

4 a 0 0 0 -x x*b/a a* cos(t) b*(1-cos(t))

5 a b 0 0 -4*x y a* cos(2*t) b*cos(t)

6 0 0 0 b 2*a 0 a*t 2 b*t

7 2*a 0 0 a x 0 a*(e t + e -t) a*t

8 0 b a 0 -x -y a* sin(t) b*cos(t)

Y V

F, * V 0 g fi 0 X

Рассмотрим задачу расчета траектории снаряда, движущегося с начальной скоростью "V 0 " под углом "fi" к горизонту с учетом сил сопротивления воздуха, пропорциональных скорости снаряда. Проекции ускорений определим в виде функций:

FUNCTION Fx(Vx, kc: real): real; begin Fx:= - kc*Vx end;

FUNCTION Fy(Vy, kc: real): real; begin Fy:= - kc*Vy - g end;

Где kc - коэффициент сопротивления воздуха,

g = 9. 81, м/с - ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Поскольку время подлета снаряда к цели неизвестно, то параметр "dt" выбирается приближенно, например, исходя из максимального времени полета снаряда над горизонтальной поверхностью без учета сопротивления воздуха: tмах= 2*V*sin(fi)/g. Для N = 500, dt = t/500. При решении конкретных задач процесс расчета прекращается при достижении снарядом цели, либо при ограничениях по статическим координатам, например:

REPEAT i:=i+1;

{операторы расчета массивов скорости, ускорения и координат точки }

Until (cc = GetPixel_G(X[i], Y[i])) or (Y[i] < 0) or (i = N);

Здесь cc - цвет пикселов цели, Y[i] < 0 - ограничение по горизонтальной поверхности, i = N - ограничение по размеру массива. В случае преждевременного завершения полета снаряда необходимо увеличить dt или параметр N.

Практическое задание N 2. 23

1. Рассчитать разностным моделированием и по аналитической зависимости траектории полета снаряда без учета сопротивления воздуха. Построить траектории полета снаряда. Начальная скорость V 0 =1000, м/с, угол fi=450. Аналитическая зависимость имеет вид:

X = V 0 *t*cos(fi); Y = V 0 *t*sin(fi) - g*t 2 /2;

2. Рассчитать разностным моделированием и по аналитической зависимости траектории полета снаряда с учетом сопротивления воздуха, пропорциональным скорости снаряда. Построить траектории полета снаряда. Начальная скорость V 0 =3000, м/с, угол fi = 45 0 . Коэффициент сопротивления воздуха kc = 0. 01,с -1 .

Аналитическая зависимость имеет вид:

X=V 0 *cos(fi)*(1-e (-kc*t))/kc; Y=(V 0 *sin(fi)+g/kc)*(1-e (-kc*t))/kc-g*t/kc;

3. Рассчитать разностным моделированием траектории полета снаряда с учетом сопротивления воздуха, пропорциональным квадрату скорости снаряда. Коэффициент сопротивления воздуха kc 1 = kc 2 . Построить совместно траектории полета снаряда для п. 1, 2, 3. Начальная скорость V 0 = 3000, м/с, угол fi = 45 0 .

4. Составить программу поражения неподвижной цели при kc 1 = kc 2 . Изменяя в цикле угол fi на небольшую величину, определить в программе угол при котором будет поражена цель - небольшой прямоугольник с координатами вершин (x1, y1) и (x2, y2). Построить все траектории полета снаряда.

Примечание к п. 1. . 4: Выводить на экран исходные данные: V 0 , fi, kc, а также наибольшую высоту и дальность полета снаряда.

Рассмотрим задачу расчета траектории космического тела , в поле тяготения планеты без учета сил сопротивления. В начальный момент времени тело движется на высоте "Н" со скоростью "V 0 ", направленной по касательной к окружности радиуса R 0 . Поскольку движение спутника вокруг планеты достаточно продолжительно, то не целесообразно запоминать в оперативной памяти все параметры (координаты, скорости и ускорения) в каждый момент времени. Обычно эти параметры, записываются в файл на диск при вычислениях через некоторые моменты времени, а траекторию строят сразу, либо запуская отдельную программу, считывающую данные из файла. Расчетная область задается исходя из оценочных расчетов. Для спутника, движущегося вокруг Земли, можно принять:

Xmin= Ymin= -Kv*R 0 , Xmax= Ymax= Kv*R 0 ,

Здесь R 0 = (Rz+H), Rz=6. 37*10 6 , м. - радиус Земли.

Kv=1. 5 при V 0 <= W 1 ; Kv=10 при W 1 < V 0 < W 2 ; Kv=20 при V >= V 2 .

W 1 = Rz*Ö(g/R 0) - первая космическая скорость,

W 2 = Ö2* W 1 - вторая космическая скорость.

Параметр "dt" можно определить приближенно по формуле: dt=T/N,

где T= 6. 28*Rz/W 1 - время оборота спутника вокруг Земли, N=300.

Расстояние от спутника до центра планеты определяется через координаты:

function R(x, y: double): double; begin R:= sqrt(x*x + y*y) end;

Проекции ускорений определим в виде функции:

function FA(x,r,kz: double):double; begin FA:= -kz*x/(r*r*r) end;

Здесь kz = 4. E+14 для Земли (в системе СИ).

Пусть в начальный момент времени известны координаты спутника:

x 1 = R 0 ; y 1 = 0; r 1 = R(x 1 , y 1);

скорость: Vx 1 = 0; Vy 1 = V 0 ;

и ускорение: Ax 1 = FA(X 1 , r 1 , kz); Ay 1 = FA(Y 1 , r 1 , kz);

Отметим, что скорость в начальный момент времени направлена по касательной к окружности радиуса r 1 .

Для записи алгоритма расчета траектории необходимо знание параметров в двух соседних точках, например, в точке "1" - для предшествующего момента времени и в точке "2" - для расчетного момента времени. Расчет производим в цикле с одновременным выводом траектории движения спутника на экран до тех пор пока выполняется ограничение по радиусу траектории или не нажата любая клавиша.

While (r1< Xmax) or (r1> Rz) or (not keyPressed) do begin

Vx2:= Vx1 + Ax1*dt; Vy2:= Vy1 + Ay1*dt;

X2:= X1 + 0.5*(Vx1 + Vx2)*dt;

Y2:= Y1 + 0.5*(Vy1 + Vy2)*dt; r2:= R(x2, y2);

Ax2:=FA(X2, r2, kz);

Ay2:=FA(Y2, r2, kz);

Vx2:= Vx1 + 0.5*(Ax1 + Ax2)*dt; { уточняем скорость }

Vy2:= Vy1 + 0.5*(Ay1 + Ay2)*dt;

{ Переопределяем значения параметров в точке }

x1:= x2; y1:= y2; r1:= r2;

Vx1:= Vx2; Vy1:= Vy2; Ax1:= Ax2; Ay1:= Ay2

PutPixel_G(x1,y1,c); { Строим траекторию движения точки, c - цвет точки }

Практическое задание N 2. 24

r = P/(1 + e*cos(fi));

где e = P/R 0 - 1; P = (V 0 * R 0 /Rz) 2 /g ; 0 <= fi = 2*Pi.

В начальный момент времени известны координаты спутника: x 1 = R 0 ; y 1 = 0;

и скорость: Vx 1 = 0; Vy 1 = V 0 ; Рассмотреть случаи:

1_1. Начальная скорость V 0 <= W 1 , высота H = 300000, м.

1_2. Начальная скорость W 1 <= V 0 < W 2 , высота H = 400000, м.

1_2. Начальная скорость V 0 >= W 2 , высота H = 500000, м.

Примечание: Построить траектории полета спутника. Через равные промежутки времени выводить на экран время полета спутника, скорость и высоту.

1) V 0 Rz Rz 2) Rz V 0 Rz

1) 20 *Rz 2) 20 *Rz

Рассмотрим задачу расчета траектории точки переменной массы , движущегося под действием реактивной тяги. Движение точки в этом случае описывается уравнением Мещерского:

A = (U/M)*(dM/dt) + F/M

Где A - ускорение точки, M - масса точки.

U - скорость реактивной струи относительно точки,

F - результирующая внешних сил, действующих на точку,

Учитывая, что F = kz*M/r 2 - сила притяжения направлена к центру Земли, а P = U*(dM/dt) - реактивная сила двигателя (тяга) направлена по касательной к траектории движения, определяем проекции ускорения на оси координат:

Ax = P*Vx/(M*V) - kz*x/(r 3); Ay = P*Vy/(M*V) - kz*y/(r 3);

Где V = Ö(Vx 2 + Vy 2) - скорость точки,

r = Ö(x 2 + y 2) - расстояние до центра Земли,

Vx , Vy - проекции скорости точки на оси координат, x, y - координаты точки.

Полагая расход топливаz = dM/dt постоянным, массу точки можно определить по формуле: M = M 0 - z*t; при t < Tk ,

где M 0 - начальная масса точки, Tk - время работы двигателя.

Практическое задание N 2. 25

1. Построить десять траекторий полета баллистической ракеты, рассчитанных разностным моделированием. Начальная скорость V 0 =1,м/с, тяга двигателя P=2. 5Е6,н, стартовая масса M 0 = 1. 5Е5, кг, расход топлива z= 700, кг/с, время работы двигателя Tk = 200, с.

2. Построить траектории полета двухступенчатой баллистической ракеты, рассчитанные разностным моделированием. Начальная скорость V 0 = 1,м/с, стартовая масса M 0 = 3Е5, кг, для первой ступени: тяга P 1 =5Е6, н, расход топлива z 1 = 1700, кг/с, время работы двигателя Tk 1 = 130, с. Для второй ступени: тяга P 2 = 1. 1Е6, н, расход топлива z 2 = 300, кг/с, время работы двигателя Tk 2 = 230, с.

Примечание к п. 1, 2: сопротивление воздуха и вращение Земли не учитывать. Угол запуска ракеты к горизонту = 90 0 -N*0. 002 0 , где N= 1, 2, 3, ..., 10. Во время работы двигателя dt=0. 05, c, затем dt=0. 5, c.

3. Построить траекторию полета спутника Земли при включении двигателя, рассчитанную разностным моделированием. Начальные условия на высоте H=400000 м принять следующие: скорость V 0 =W 1 и направлена по касательной к окружности, M 0 =11000, кг, тяга двигателя P=4Е5, н, расход топлива z=100, кг/с, время работы двигателя Tk = 70, с. Рассчитать скорость спутника при работе двигателя по формуле Циолковского: V = V 0 + U*ln(M 0 /M) , где U = P/z .

Через каждые 10 секунд выводить на экран время полета спутника и скорость.

Рассмотрим задачу расчета траектории точки, прикрепленной к упругой нити , и движущейся с начальной скоростью "V 1 " под углом "fi" к оси "x" из точки с координатами (x 1 , y 1), без учета сил сопротивления воздуха. Эта задача моделирует известную игрушку - мяч, привязанный на резинке.

Пусть точка имеет массу "M", длина нити "L". Полагаем, что нить невесома и абсолютно упруга. Коэффициент упругости "Kn".

Оси координат проведем через точку закрепления нити вверх и влево. Расчетную область ограничим: X_min = Y_min = -Lm, X_max = Y_max = Lm,

где Lm = abs(V 1 * Ö(M/Kn)) + Ö(x12 + y12) + L + 2*M*g/Kn.

Y V 1 x,y 0 X

Период свободных колебаний груза,

подвешенного на упругой нити:

T = 6, 28* Ö(M/Kn). Примем dt = T/300.

Проекции ускорения определяются как дискретная функция расстояния " r " от начала координат до точки закрепления нити: если r <= L, то ускорение от сил упругости равно нулю, в остальных случаях:

Ax = -x*Ky*dr/(r*M);

Ay = -y*Ky*dr/(r*M) - 9.81; где dr = (r-L) > 0.

Проекцию ускорения на ось “Х” от сил упругости, запишем в виде функции:

FUNCTION FA(x, r, L, Kn, M: double): double;

begin if (r-L)>0 then FA:= -x*Kn*(r-L)/(r*M) else FA:= 0 end;

Аналогичная функция составляется для проекции ускорения на ось “У”. Методика расчета соответствует приведенной для движения спутника в поле тяготения планеты.

Практическое задание N 2. 26

1. Построить траекторию движения мяча, подвешенного на упругой нити в вязкой среде, рассчитанную разностным моделированием. Сопротивление среды пропорционально скорости движения мяча: kc=0. 01, с -1 . Нить закреплена в центре квадрата со стороной 2*Lm, длина нити L=1, м, коэффициент упругости Kn=5, н/м. Масса мяча M=0. 2, кг. Мяч начинает движение из точки с координатами x 1 =-0. 5*L, y 1 =0, со скоростью V 1 =10, м/с, под углом 45 0 .

2. Построить траекторию движения мяча, подвешенного на упругой нити в квадратной коробке, рассчитанную разностным моделированием, с учетом уменьшения нормальной составляющей скорости на 20% при отражении мяча от стенки. Сопротивление среды пропорционально скорости движения мяча: kc=0. 05, с -1 . Нить длиной L=1, м, закреплена в центре квадрата со стороной a=1. 5*L. Коэффициент упругости Kn=5, н/м, масса мяча M=0. 1, кг. Мяч начинает движение из точки с координатами x 1 =-L, y 1 =0, со скоростью V 1 x=1, м/с, V 1 y=5, м/с.

2. 4. Моделирование многовариантных задач с использованием графов

Рассмотрим "классический" пример многовариантной задачи. Пусть пункты A и B связаны между собой дорогами, могущими проходить также через пункты 1, 2, 3,..., N. В общем случае каждый пункт связан дорогами со всеми остальными. В частном случае некоторые связи (дороги) отсутствуют. Схематически эти пункты и связи можно изобразить в виде графа.

Графом называется совокупность узлов (пункты A, B, 1, 2, . . . , N) и связывающих их ребер (дорог). Маршрутом движения называется последовательность связанных ребрами узлов. В дальнейшем будем рассматривать те маршруты движения, которые всегда начинаются из пункта A и заканчиваются в пункте B. Причем пункты A и B на маршруте повторяться не могут. Например: А-1-4-В .

Ставится задача составить маршруты при заданных ограничениях (фильтрах), либо найти оптимальный по некоторым параметрам маршрут и т. д. Например, известна стоимость проезда по каждой из дорог. Необходимо найти маршрут с наименьшей стоимостью проезда, либо найти все маршруты со стоимостью не превышающей определенную величину и т. д.

Пусть узел A имеет номер "0", а узел B - номер "N+1". Рассмотрим общий случай: каждый пункт связан со всеми остальными. Обозначим M - число промежуточных узлов на маршруте.

При М = 0 маршрут может проходить только из узла "0" в узел "N+ 1".

При М = 1 маршрут проходит через один из узлов: j1= 1, либо j1= 2, .., либо j1= N.

При М = 2 маршрут проходит через два узла, причем первый из них может иметь номер: j1=1, либо j1=2, ... либо j1=N, а второй - номер: j2=1, либо j2=2, ... либо j2=N, т. е. возможно N 2 маршрутов. Графически все маршруты можно представить в виде:

A M=1 A M=2

1 . . . j1 . . . N

1 2 3 ... j1 ... N 1 2 3 ... j2 . N 1 2 3 ... j2 ... N 1 2 3 ... j2 .. N

Таким образом, число маршрутов равно N M и время перебора маршрутов при больших значениях N и M очень быстро растет.

При постановке задачи нахождения маршрутов указывается значение M - наименьшее число узлов на маршруте, M1 - наибольшее число узлов на маршруте. Причем 1<=M<=M1. Например, пусть на графе имеется три узла N=3 и необходимо составить маршруты, проходящие через два узла, т. е. M=2, M1=2. Тогда в общем случае имеются маршруты:

0-1-1-4; 0-2-1-4; 0-3-1-4; односторонняя связь

0-1-2-4; 0-2-2-4; 0-3-2-4; 1 2 3

0-1-3-4; 0-2-3-4; 0-3-3-4; двусторонняя связь

Постановка задачи нахождения маршрутов включает определение матрицы коэффициентов aij, характеризующих связи между узлами i и j. Связь узла A задается коэффициентами a 0 j, узла В - коэффициентами ai N+ 1 . Матрица имеет вид:

a 11 a 12 a 13 ... a 1N Если aij = aji = 0, то связь

a 21 a 22 a 23 ... a 2N между узлами i и j отсутствует.

a 31 a 32 a 33 ... a 3N Если aij=0 и aji<>0, то связь

........................... . между узлами i и j односторонняя.

a N1 a N2 a N3 ... a NN Если aij<>0 и aji<>0, то связь

между узлами i и j двусторонняя.

Если aij = aji при i =1, 2, . . , N; j = 1, 2, . . , N, то матрица симметричная.

Если aij = 0 при j =1, 2, . . , N; i > j, то матрица треугольная.

Значение aij может содержать значение ребра, связывающего узлы i и j (например, стоимость проезда), либо значение, содержащееся в узле i или j, либо любое значение, указывающее на существование связи между узлами i и j.

Введем линейный массив "Y", коэффициенты которого обозначают номера узлов графа через которые проходит маршрут, а индексы показывают номер пункта по порядку следования на маршруте. Операторы по перебору маршрутов имеют вид:

Y:=0; {номер узла "А" графа}

repeat {цикл по числу узлов на маршруте}

for j:= 1 to M do Y[j]:=1; {начальные номера узлов на маршруте}

Y:=N+1; {номер узла "B" графа}

repeat {цикл по перебору номеров узлов на маршруте}

for j:=1 to M+1 do if a,y[j]]=0 then goto METKA; {проверка}

{****** здесь ставятся операторы фильтра ************}

{****** . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ************}

for j:=0 to M+1 do write("-", Y[j]); writeln; {вывод маршрута}

METKA: Y:=Y+1; {изменение номера узла первого пункта на маршруте}

for j:=1 to M-1 do {определяем номера узлов на маршруте}

if Y[j]>N then begin Y[j]:=1; Y:=Y+1 end else Break;

until Y[M]=N+1;

until M>M1;

В начале программы задается возможный маршрут 0-1-1-1-. . . -1-N+1 для заданного значения M>0. Проверяется наличие связей и ставятся фильтры для определения маршрута. Затем увеличивается номер узла первого пункта по порядку следования на маршруте: 0-2-1-1-. . . -1-N+1 и т. д. до 0-N-1-1-. . . -1-N+1. При превышении номера узла значения N, номер узла сбрасывается до единицы, а номер следующего узла увеличивается на единицу: 0-1-2-1-. . . -1-N+1 и снова увеличивается номер узла первого пункта до значения N: 0-N-2-1-. . . -1-N+1 и далее сбрасывается до единицы с увеличением номера следующего узла: 0-1-3-1-. . . -1-N+1. После (N-1)-го сброса и увеличения значения узла первого пункта до N получим маршрут: 0-N-N-1-. . . -1-N+1 и далее: 0-1-1-2-. . . -1-N+1. Таким образом, происходит перебор всех возможных маршрутов до 0-N-N-N-. . . -N-N+1. После этого рассматриваются маршруты для M=M+1 включая M=M1. Отметим, что при необходимости маршрут 0-N+1 для M=0 нужно рассмотреть отдельно.

При решении конкретных задач необходимо определить значение коэффициентов aij матрицы связи и установить необходимые фильтры.

Рассмотрим задачуопределения стоимости маршрутов из A в B .

1.) Зададим стоимость проезда из узла i в узел j:

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a:=Random(X); {X-дано}

for i:=0 to N+1 do a:=0; { движение внутри узла запрещено}

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a:=a; {связи }

{двусторонние и равнозначные}

2). Матрицу связей можно вывести на экран для проверки. При выводе маршрута на экран или в файл можно выводить также значение стоимости маршрута.

S:=0; for m:=1 to M1+1 do S:=S+a,y[m]]; {стоимость маршрута}

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Рассмотрим задачу расстановки мин на прямоугольном поле размером Nx*Ny. При этом M=M1=N=Nx*Ny и все узлы должны быть пройдены без повторений. Расстановка начинается из узла с заданным номером NH и может закончиться в узлах на верхней границе.

1) Определим матрицу связей:

for i:=0 to N+1 do for j:=1 to N+1 do a:=0;

for i:=1 to N-1 do begin a:=1; a:=1 end; {связи по гориз}

for j:=1 to Ny-1 do begin k:=Nx*j; a:=0; a:=0 end;

for i:=1 to Nx do for j:=1 to Ny-1 do {связи по вертикали}

begin k:=Nx*(j-1)+i; a:=1; a:=1 end;

a:=2; { NH - узел связи c узлом 0}

for i:=1 to Nx do a:=3; { 1, . . , Nx - узлы связи c узлом N+1}

2). Установим фильтр, запрещающий возврат в узел на маршруте:

for k:=1 to M do c]:=0; for k:=1 to M do

begin c]:=c]+1; if c]=1 then goto METKA end;

Здесь производится суммирование повторяющихся номеров узлов на маршруте. При совпадении номера узла значение счетчика c]=1 -маршрут не рассматривается.

Рассмотрим задачу загрузки N - видов коробок в машину. Задается число коробок каждого вида: Ki, их вес Mi и объем Vi, где i=1, 2, . . , N. Ограничения могут быть по общему весу и объему. Число узлов графа равно N. Число узлов на маршруте M=1, М1=K 1 +K 2 +. . . +K N . Интервал М-М1 можно уменьшить просчитав наибольшее допустимое по весу и объему число коробок KMi каждого вида загружаемых в машину (KMi<=Ki). Тогда М = min(KMi), а М1 = max(KMi). Поскольку порядок загрузки не имеет значения, то все связи односторонние. 0

1 2 ... k ... N N+1

1) Определим матрицу связей:

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a:=0; {нижний треугольник}

for i:=0 to N+1 do for j:=i to N+1 do a:=1; {верхний треугольник}

2) Определение числа коробок каждого вида аналогично суммированию повторяющихся номеров узлов на маршруте.

Практическое задание N 2. 27

1) Вывести в файл стоимость маршрутов без повторяющихся узлов при N=4, M=3, M1=4, Х=9. Определить номера маршрутов с наименьшей и наибольшей стоимостью

для разных значений М.

2) Вывести символами псевдографики в текстовом режиме маршруты движения в прямоугольнике 2х4, либо 4х2. Начало движения при NH=8.

3) Вывести общий вес и число коробок каждого из 3-х видов, загружаемых в машину. Задать веса функцией Random(50)+50; Установить фильтр по общему весу G<900. Общее число коробок: M=10, M1=12.

Предыдущая статья: Что делать, когда плохо на душе и хочется плакать Следующая статья: Служебный роман закончился: Как работать с бывшим парнем?