Экономико-математические методы. Экономико-математические методы и модели анализа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(ТФ ГОУ ВПО РГТЭУ)

Реферат по математике на тему:

«Экономико-математические модели»

Выполнили:

Студентки 2 курса

«Финансы и кредит»

дневное отделение

Максимова Кристина

Витка Наталья

Проверил:

Доктор технических наук,

профессор С.В. Юдин _____________

Введение

1.Экономико-математическое моделирование

1.1 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

1.2 Экономико-математические методы

Разработка и применение экономико-математических моделей

2.1 Этапы экономико-математического моделирования

2.2 Применение стохастических моделей в экономике

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность. Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Почему можно говорить об эффективности применения методов моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем как:

-изменчивость (динамичность);

-противоречивость поведения;

-тенденция к ухудшению характеристик;

-подверженность воздействию окружающей среды

предопределяют выбор метода их исследования.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Цель данной работы - раскрыть понятие экономико-математических моделей и изучить их классификацию и методы, на которых они базируются, а также рассмотреть их применение в экономике.

Задачи данной работы: систематизация, накопление и закрепление знаний об экономико-математических моделях.

1.Экономико-математическое моделирование

1.1 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ реального объекта (процессов), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием . Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процессов). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процессов), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Экономико-математические модели - это модели экономических объектов или процессов, при описании которых используются математические средства. Цели их создания разнообразны: они строятся для анализа тех или иных предпосылок и положений экономической теории, логического обоснования экономических закономерностей, обработки и приведения в систему эмпирических данных. В практическом плане экономико-математические модели используются как инструмент прогноза, планирования, управления и совершенствования различных сторон экономической деятельности общества.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По целевому назначению модели делятся на:

·Теоретико-аналитические (используются в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов);

·Прикладные (применяются в решении конкретных экономических задач, таких как задачи экономического анализа, прогнозирования, управления).

По учету фактора времени модели подразделяются на:

·Динамические (описывают экономическую систему в развитии);

·Статистические (экономическая система описана в статистике, применительно к одному определенному моменту времени; это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени).

По длительности рассматриваемого периода времени различают модели:

·Краткосрочного прогнозирования или планирования (до года);

·Среднесрочного прогнозирования или планирования (до 5 лет);

·Долгосрочного прогнозирования или планирования (более 5 лет).

По цели создания и применения различают модели:

·Балансовые;

·Эконометрические;

·Оптимизационные;

·Сетевые;

·Систем массового обслуживания;

·Имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий, и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель, наряду с машинными решениями, содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

·Детерминированные (с однозначно определенными результатами);

·Стохастические (вероятностные; с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

·Линейного программирования (оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений);

·Нелинейного программирования (оптимальных значений целевой функции может быть несколько);

·Корреляционно-регрессионные;

·Матричные;

·Сетевые;

·Теории игр;

·Теории массового обслуживания и т.д.

С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации, осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

моделирование математический стохастический

1.2 Экономико-математические методы

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов, во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей, в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей, которые следует понимать как продукт процесса экономико-математического моделирования, а экономико-математические методы - как инструмент.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав.

С известной долей условности классификацию этих методов можно представить следующим образом.

·Экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем.

·Математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины - выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, теория индексов и др.

·Математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование.

·Методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, сетевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и методы принятия решений.

В оптимальное программирование в свою очередь входят линейное и нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, стохастическое программирование и др.

·Методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального ценообразования функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым - методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели теории фирмы и т.д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут быть оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики.

·Методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.

В экономико-математических методах применяются различные разделы математики, математической статистики, математической логики. Большую роль в решении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теория алгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принесло ощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенного производства, определения оптимальных темпов роста капиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрации производства, задач выбора оптимальных способов производства, определения оптимальной последовательности запуска в производство, задачи подготовки производства методами сетевого планирования и многих других.

Для решения стандартных проблем характерны четкость цели, возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

Существуют следующие предпосылки использования методов экономико-математического моделирования, важнейшими из которых являются высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа, а также высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами.

Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, вести систему обозначений и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

2. Разработка и применение экономико-математических моделей

2.1 Этапы экономико-математического моделирования

Процесс экономико-математического моделирования - это описание экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

2.Построение математической модели;

.Математический анализ модели;

.Подготовка исходной информации;

.Численное решение;

Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ . Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2.Построение математической модели . Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таком образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности т неопределенности и т.д.

Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом.

Одна из важный особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; сначала необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

.Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неищвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

4.Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5.Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6.Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявить некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

2.2 Применение стохастических моделей в экономике

Основу эффективности банковского менеджмента составляет планомерный контроль за оптимальностью, сбалансированностью и устойчивостью функционирования в разрезе всех элементов, формирующих ресурсный потенциал и определяющих перспективы динамического развития кредитного учреждения. Его методы и инструменты требуют модернизации с учетом изменяющихся экономических условий. В то же время необходимость совершенствования механизма реализации новых банковских технологий обуславливает целесообразность научного поиска.

Используемые в существующих методиках интегральные коэффициенты финансовой устойчивости (КФУ) коммерческих банков зачастую характеризуют сбалансированность их состояния, но не позволяют дать полную характеристику тенденции развития. Следует учитывать, что результат (КФУ) зависит от многих случайных причин (эндогенного и экзогенного характера), которые не могут быть заранее полностью учтены.

В связи с этим оправданно рассматривать возможные результаты исследования устойчивого состояния банков в качестве случайных величин, имеющих одинаковое распределение вероятностей, поскольку исследования проводятся по одной и той же методике с использованием одинакового подхода. Кроме того, они взаимно независимы, т.е. результат каждого отдельного коэффициента не зависит от значений остальных.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события x 1 , x 2 , …, x n образуют полную группу, следовательно, сумма их вероятностей будет равна 1: p 1 +p 2 +…+p n =1 .

Дискретная случайная величина X - коэффициент финансовой устойчивости банка «А»,Y - банка «В», Z - банка «С» за заданный период. В целях получения результата, дающего основание сделать вывод об устойчивости развития банков, оценка была осуществлена на базе 12-летнего ретроспективного периода (табл.1).

Таблица 1

Порядковый номер годаБанк «А»Банк «В»Банк «С» 11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,01771,1121,1151,02981,3111,3281,06591,2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,296Шаг0,07550,04230,0485

Для каждой выборке по определенному банку значения разбиты на N интервалов, определены минимальное и максимальное значение. Процедура определения оптимального числа групп основана на применении формулы Стерджесса:

N =1+3,322 * ln N;

N =1+3,322 * ln12=9,525?10,

Где n - число групп;

N - число совокупности.

h=(КФУ max - КФУ min ) / 10.

Таблица 2

Границы интервалов значений дискретных случайных величин X, Y, Z (коэффициентов финансовой устойчивости) и частоты появлений данных значений в обозначенных границах

Номер интервалаГраницы интерваловЧастота появлений (n )XYZXYZ 10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Исходя из найденного шага интервала, были рассчитаны границы интервалов путем прибавления к минимальному значению найденного шага. Полученное значение - это граница первого интервала (левая граница - LG). Для нахождения второго значения (правой границы PG) к найденной первой границе снова прибавляет я шаг и т.д. Граница последнего интервала совпадает с максимальным значением:

LG 1 =КФУ min ;

PG 1 =КФУ min +h;

LG 2 =PG 1;

PG 2 =LG 2 +h;

PG 10 =КФУ max .

Данные по частоте попадания коэффициентов финансовой устойчивости (дискретных случайных величин X, Y, Z) сгруппированы в интервалы, и определена вероятность попадания их значений в заданные границы. При этом левое значение границы входит в интервал, а правое - нет (табл.3).

Таблица 3

Распределение дискретных случайных величин X, Y, Z

ПоказательЗначения показателяБанк «А»X 0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X) 0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y 0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y) 0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z 0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z) 0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоте появлений значений n найдены их вероятности (частота появления делится на 12, исходя из числа единиц совокупности), а также в качестве значений дискретных случайных величин были использованы середины интервалов. Законы их распределения:

P i = n i /12;

X i = (LG i +PG i )/2.

На основании распределения можно судить о вероятности неустойчивого развития каждого банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так с вероятностью 0,083 банк «А» может достигнуть значения коэффициента финансовой устойчивости, равное 0,853. Другими словами, вероятность того, что его расходы превысят доходы, составляет 8,3 %. По банку «В» вероятность падения коэффициента ниже единицы также составила 0,083, однако с учетом динамичного развития организации это снижение все же окажется незначительным - до 0,926. Наконец, высока вероятность (16,7%), что деятельность банка «С», при прочих равных условиях, охарактеризуется значением финансовой устойчивости, равным 0,835.

В то же время по таблицам распределений можно увидеть вероятность устойчивого развития банков, т.е. сумму вероятностей, где варианты коэффициентов имеют значение, большее 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можно наблюдать, что наименее устойчивое развитие ожидается в банке «С».

В целом закон распределения задает случайную величину, однако чаще целесообразнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Их называют числовыми характеристиками случайной величины, к ним относится математическое ожидание. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины и оно тем больше приближается к среднему значению, чем больше было проведено испытаний.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных величин на ее вероятности:

M(X) = x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

Результаты расчетов значений математических ожиданий случайных величин представлены в табл.4.

Таблица 4

Числовые характеристики дискретных случайных величин X, Y, Z

БанкМатематическое ожиданиеДисперсияСреднее квадратическое отклонение «А»M(X) = 1,187D(X) =0,027?(x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010?(y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012?(z) = 0,112

Полученные математические ожидания позволяют оценить средние значения ожидаемых вероятных значений коэффициента финансовой устойчивости в будущем.

Так по расчетам можно судить, что математическое ожидание устойчивого развития банка «А» составляет 1,187. Математическое ожидание банков «В» и «С» составляет 1,124 и 1,037 соответственно, что отражает предполагаемую доходность их работы.

Однако, зная лишь математическое ожидание, показывающее «центр» предполагаемых возможных значений случайной величины - КФУ, еще нельзя судить ни о его возможных уровнях, ни о степени их рассеянности вокруг полученного математического ожидания.

Другими словами, математическое ожидание в силу своей природы полностью устойчивости развития банка не характеризует. По этой причине возникает необходимость вычисления других числовых характеристик: дисперсии и среднеквадратического отклонения. Которые позволяют оценить степень рассеянности возможных значений коэффициента финансовой устойчивости. Математические ожидания и средние квадратические отклонения позволяют оценить интервал, в котором будут находиться возможные значения коэффициентов финансовой устойчивости кредитных организаций.

При сравнительно высоком характерном значении математического ожидания устойчивости по банку «А» среднее квадратическое отклонение составило 0,164, что говорит о том, что устойчивость банка может либо повыситься на эту величину, либо снизиться. При отрицательном изменении устойчивости (что все же маловероятно, учитывая полученную вероятность убыточной деятельности, равную 0,083) коэффициент финансовой устойчивости банка останется положительным - 1, 023 (см. табл. 3)

Деятельность банка «В» при математическом ожидании в 1,124, характеризуется меньшим размахом значений коэффициента. Так, даже при неблагоприятном стечении обстоятельств банк останется устойчивым, поскольку среднее квадратическое отклонение от прогнозируемого значения составило 0, 101, что позволит ему остаться в положительной зоне доходности. Следовательно, можно сделать вывод об устойчивости развития данного банка.

Банк «С», напротив, при невысоком математическом ожидании своей надежности (1, 037) столкнется при прочих равных условиях с недопустимым для него отклонением, равным 0,112. При неблагоприятной ситуации, а также учитывая высокий процент вероятности убыточной деятельности (16,7%), данная кредитная организация, скорее всего, снизит свою финансовую устойчивость до 0,925.

Важно заметить, что, сделав выводы об устойчивости развития банков, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет коэффициент финансовой устойчивости в итоге испытания; это зависит от многих причин, учесть которые невозможно. С этой позиции о каждой случайной величине мы располагаем весьма скромными сведениями. В связи с чем вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

Однако оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Оценивая устойчивость развития банков, остается оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа ?. Дать интересующую нас оценку позволяет неравенство П.Л. Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ? не меньше, чем :

или в случае обратной вероятности:

Учитывая риск, связанный с потерей устойчивости, проведем оценку вероятности отклонения дискретной случайной величины от математического ожидания в меньшую сторону и, считая равновероятностными отклонения от центрального значения как в меньшую, так и в большую стороны, перепишем неравенство еще раз:

Далее, исходя из поставленной задачи необходимо оценить вероятность того, что будущее значение коэффициента финансовой устойчивости не окажется ниже 1 от предлагаемого математического ожидания (для банка «А» значение ? примем равное 0,187, для банка «В» - 0,124, для «С» - 0.037) и произведем расчет данной вероятности:

банк «А»:

банк «С»:

Согласно неравенству П.Л. Чебышева, наиболее устойчивым в своем развитии является банк «В», поскольку вероятность отклонения ожидаемых значений случайной величины от ее математического ожидания невысокая (0,325), при этом она сравнительно меньше, чем по другим банкам. На втором месте по сравнительной устойчивости развития располагается банк «А», где коэффициент этого отклонения несколько выше, чем в первом случае (0,386). В третьем банке вероятность того, что значение коэффициента финансовой устойчивости отклониться в левую сторону от математического ожидания больше чем на 0, 037, является практически достоверным событием. Тем более, если учесть, что вероятность не может быть больше 1, превышающие значения, согласно доказательству Л.П. Чебышева, необходимо принимать за 1. Другими словами, факт того, что развитие банка может перейти в неустойчивую зону, характеризующуюся коэффициентом финансовой устойчивости меньше 1, является достоверным событием.

Таким образом, характеризуя финансовое развитие коммерческих банков, можно сделать следующие выводы: математическое ожидание дискретной случайной величины (среднее ожидаемое значение коэффициента финансовой устойчивости) банка «А» равно 1,187. Среднее квадратическое отклонение этой дискретной величины составляет 0,164, что объективно характеризует небольшой разброс значений коэффициента от среднего числа. Однако степень неустойчивости этого ряда подтверждается достаточно высокой вероятностью отрицательного отклонения коэффициента финансовой устойчивости от 1, равной 0,386.

Анализ деятельности второго банка показал, что математическое ожидание КФУ равно 1,124 при среднем квадратическом отклонении 0,101. Таким образом, деятельность кредитной организации характеризуется небольшим разбросом значений коэффициента финансовой устойчивости, т.е. является более концентрированной и стабильной, что подтверждается сравнительно низкой вероятностью (0,325) перехода банка в зону убыточности.

Устойчивость банка «С» характеризуется невысоким значением математического ожидания (1,037) и также небольшим разбросом значений (среднеквадратическое отклонение равно 0,112). Неравенство Л.П. Чебышева доказывает тот факт, что вероятность получения отрицательного значения коэффициента финансовой устойчивости равна 1, т.е. ожидание положительной динамики его развития при прочих равных условиях будет выглядеть весьма необоснованным. Таким образом, предложенная модель, базирующаяся на определении существующего распределения дискретных случайных величин (значений коэффициентов финансовой устойчивости коммерческих банков) и подтверждаемая оценкой их равновероятностного положительного или отрицательного отклонения от полученного математического ожидания, позволяет определить ее текущий и перспективный уровень.

Заключение

Применение математики в экономической науке, дало толчок в развитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в части методов экономико-математической модели. Пословица говорит: «Семь раз отмерь - Один раз отрежь». Использование моделей есть время, силы, материальные средства. Кроме того, расчёты по моделям противостоят волевым решениям, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные. Экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

В работе было выяснено, что экономико-математические модели можно разделить по признакам:

·целевого назначения;

·учета фактора времени;

·длительности рассматриваемого периода;

·цели создания и применения;

·учета фактора неопределенности;

·типа математического аппарата;

Описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей базируется на использовании одного из экономико-математических методов, которые применяются на всех уровнях управления.

Особенно большую роль приобретают экономико-математические методы по мере внедрения информационных технологий во всех областях практики. Также были рассмотрены основные этапы процесса моделирования, а именно:

·постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

·построение математической модели;

·математический анализ модели;

·подготовка исходной информации;

·численное решение;

·анализ численных результатов и их применение.

В работе была представлена статья кандидата экономических наук, доцента кафедры финансов и кредита С.В. Бойко, в которой отмечается, что перед отечественными кредитными организациями, подверженными влиянию внешней среды, стоит задача поиска управленческих инструментов, предполагающих реализацию рациональных антикризисных мер, направленных на стабилизацию темпов роста базовых показателей их деятельности. В этой связи повышается важность адекватного определения финансовой устойчивости с помощью различных методик и моделей, одной из разновидностей которых являются стохастические (вероятностные) модели, позволяющие не только выявить предполагаемые факторы роста или снижения устойчивости, но и сформировать комплекс превентивных мероприятий по ее сохранению.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Список литературы

1)Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. -4-е изд., испр. - М.: Дело, 2003.

)Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.

)Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.М. и др. Математическое моделирование экономических процессов. - М.: Агропромиздат, 1990.

)Под ред. Федосеева В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели:Учебное пособие для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 2001.

)Савицкая Г.В. Экономический анализ: Учебник. - 10-е изд., испр. - М.:Новое знание, 2004.

)Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002

)Исследование операций. Задачи, принципы, методология: учеб. пособие для вузов / Е.С. Вентцель. - 4-е изд., стереотип. - М. :Дрофа, 2006. - 206, с. : ил.

) Математика в экономике: учебное пособие/ С.В.Юдин. - М.: Изд-во РГТЭУ,2009.-228 с.

)Кочетыгов А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие/ Тул. Гос. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, Вероятностные модели в оценке финансовой устойчивости кредитных организаций /С.В. Бойко// Финансы и кредит. - 2011. N 39. -

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Экономико-математические методы и модели

Методически указания и контрольные задания для студентов

очной и заочной формы обучения.

г. Ставрополь 2007г.

Настоящее пособие предназначено для студентов экономических специальностей. Учебный план изучения курса рассчитан на 75 часов и предусматривает выполнение контрольной работы для заочной формы обучения.

В пособии приведены решения задач по темам, соответствующим учебному плану, даны необходимые методические указания и приведены задания для контрольной работы. Это пособие может быть использовано студентами очного и заочного отделения для самостоятельной работы и подготовки к зачёту.

Введение

В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов и моделей. Ни одно серьёзное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей и предприятий, распределения ресурсов, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического исследования конкретного процесса или его частей.

В этой связи изучение дисциплины «Экономико-математические методы и модели» направлено как на формирование у студентов понимания роли современной математики в экономике, так и на изучение наиболее важных экономико-математических методов исследования моделей и задач оптимизации.

Задачи данной дисциплины состоят в изучении математических методов СЭП, применения базовых методов математического моделирования СЭП при решении оптимизационных задач и выработке навыков решения трудоёмких прикладных экономико-математических задач с помощью компьютерных технологий.

Цель изучения данной дисциплины – подготовка специалиста экономического профиля к сознательному использованию математических методов исследования СЭП на основе соответствующих базовых моделей.

Изучение дисциплины предусматривает сочетание лекций, практических занятий и самостоятельную работу студентов. На лекциях излагается содержание дисциплины, проводится анализ основных математических понятий и методов. Практические занятия ориентированны на выработку у студентов умения и навыков решения типовых экономических задач. Руководствуясь принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением её прикладной экономической направленности, автором предлагаются наиболее экономически значимые задачи, представляющие самостоятельный интерес и дающие возможность относительно продуктивно освоить алгоритм их решения при отсутствии учебника.

После изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» студент должен:

Иметь представление о методах системного анализа и управления СЭП;

Знать основные понятия, определения и базовые математические методы, используемые для построения моделей СЭП;

Уметь проводить расчёты и делать оценки параметров для базовых математических моделей СЭП;

Уметь решать прикладные экономико-математические задачи, опираясь на базовые знания по математике,соответствующие Государственному образовательному стандарту.

Общие методические указания

Для более полного, уверенного освоения студентами навыков решения задач по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» предлагаются данные методические указания. Автор руководствовался общими целеполагающими принципами изучения данной дисциплины, а также принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов для понимания значимости построения и исследования математических моделей в экономике.

Приведённые методические указания могут быть использованы при проведении самостоятельных и контрольных работ, собеседований при сдаче зачёта.

При выполнении контрольной работы студентам заочного отделения необходимо руководствоваться следующими указаниями:

На обложке указываются фамилия и инициалы студента, полный шифр специальности, группа, дата регистрации, фамилия и инициалы преподавателя-рецензента;

Решение всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными; вычисления и чертежи – полными и аккуратными.

Номер контрольной работы соответствует последней цифре его учебного шифра.

Контрольная работа предоставляется в деканат не позднее 10 дней до начала сессии. При сдаче зачёта студент должен дать пояснения к решённым заданиям.

1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособ. / под ред. Н.Ш.Кремера./ – М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш. и др.; под ред. проф. Н.Ш.Кремера – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005. – 423 с.

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. М..: Высшая школа, 1986. - 319 с.

4. Морозов В.В., Сухарев А.Т., Фёдоров В.В. Исследование операций в примерах и задачах.: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.

6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.

7. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. – Спб: Питер, 2002. – 176 с.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов /В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. -391 с.

Глоссарий терминов.

Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значе­ний величин, соответствующих его частям при любом разбие­нии объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и элементов.

Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам мо­дели, которые для исследования считаются существенными.

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых, что часто значительно упрощает реше­ние задачи.

Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономики при раз­ных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.

Векторная оптимизация - решение задач математического программи­рования, в которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого являются в свою очередь различ­ные несводимые друг к другу критерии оптимальности подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социаль­ных групп в социально-экономическом планировании.

Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее по­ведения предположениям экспериментатора.

Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминиро­ванной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значе­ний, на ёе выходе могут получаться различающиеся между со­бой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Взаимозаменяемость ресурсов - возможность использования разных ресурсов для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Генетический прогноз («поисковый») - прогноз, показывающий, к каким состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных начальных условиях.

Глобальное моделирование или моделирование глобального разви­тия - область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологиче­ских процессов, охватывающих земной шар.

Градиентные методы решения задач математического программиро­вания - методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.

Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основан­ные на рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с последующим согласованием частых ре­шений для получения общего оптимального решения.

Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объ­ектов - в отличие от нормативных моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например, оптимального).

Детерминированная модель - аналитическое представление законо­мерности, операции и т. п., при которых для данной совокупно­сти входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упро­щением), так и детерминированную систему.

Детерминированная система - такая система, выходы которой (ре­зультаты действия, конечные состояния и т.п.) однозначно оп­ределяются оказанными на нее управляющими воздействиями.

Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты), изме­няющиеся во времени. Процесс изменения характеризуется тра­екторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является функцией времени).

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай ди­намических моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся урав­нения, характеризующие изменения отраслевых связей во вре­мени.

Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого решения, а затем при­меняют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучше­ние этого решения.

Итерация - повторное применение математической операции (с из­мененными данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (осо­бенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше тре­буется пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономи­ческого эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и вы­бора наилучшего из них (например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время дости­жения цели и т. д.)

Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балан­се - средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи сопряженных производств. Таким обра­зом, они складываются из прямых затрат каждой отрасли на данный продукт и косвенных затрат.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Математическое программирование (оптимальное программирова­ние) - область математики, объединяющая различные матема­тические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирова­ние, выпуклое программирование и др. Общая задача матема­тического программирования состоит в нахождении оптималь­ного (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производст­во и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотрас­левом балансе, матричном плане предприятия и др.

Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью электронных вычислитель­ных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сна­чала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.

Межотраслевой баланс (МОБ ) - каркасная модель экономики, таб­лица, в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает ком­плексную характеристику процесса формирования и использова­ния совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основ­ных понятий линейного программирования. Это оценки про­дуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других терминов.

Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств, они в совокупности определя­ют область допустимых решений (допустимое множество). Рас­пространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются прямыми, вторые - кривыми линиями).

Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная инфор­мация о возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.

Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих вы­брать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определен­ных ограничений.

Оптимальное программирование - применение в экономике методов математического программирования.

Оптимальное управление - основное понятие математической тео­рии оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса, или, иначе, наилучшее поведение системы, ее разви­тие к цели по оптимальной траектории.

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения ка­кого-то критерия) распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимизационной модели методами математическо­го программирования.

Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; 2) про­цесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь - в теории массового обслуживания - последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслужива­ния занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) ка­налов или средств обслуживания.

Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз разви­тия, основанный на изучении статистических данных за про­шлый период и переносе выявленных закономерностей на буду­щее. При этом внешние факторы, воздействующие на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие осно­вывается только на собственных, внутренних тенденциях.

Предельные и приростные величины в экономике . Предельная вели­чина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение. Поскольку в экономике боль­шинство процессов (например, рост производства или измене­ние его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по каждому из факторов.

Прогнозирование - система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тен­денций развития народного хозяйства и поиск оптимальных пу­тей достижения целей этого развития.

Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары и услуги в целях лучшего обоснования соот­ветствующих производственных планов. Прогнозирование под­разделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и долгосрочное.

Производственная функция - экономико-математическое уравне­ние, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с ве­личинами продукции (выпуска). Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных фор­мах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма слож­ных систем уравнений, включающих рекуррентные соотноше­ния, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Широко распространены мультипли­кативные формы ПФ.

Равновесие - состояние экономической системы, которое характе­ризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких вели­чин. Распределение этих значений называется условным распределением у при дан­ном х. Множественная регрессия в определенных условиях по­зволяет исследовать влияние причинных факторов.

Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенно­му алгоритму. Примерами таких алгоритмов являются рекур­рентные формулы, выводящие вычисление заданного члена по­следовательности (чаще всего числовой) из вычисления не­скольких предыдущих ее членов.

Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах.

Стохастическая имитация - вид машинной имитации, отличающий­ся от детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.

Устойчивость решения - обычно, говоря об устойчивости решения задачи, имеют в виду, что малые изменения каких-либо характе­ристик, например, начальных условий, ограничений или целе­вого функционала, не приводят к качественному изменению ре­шения.

Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи.

Шкалы - системы чисел или иных элементов, принятых для оцен­ки или измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.

Практическое занятие.

Тема . Методы линейной алгебры в экономическом анализе.

Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, опирающиеся на базовую основу линейной алгебры.

1. Справочный материал.

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матрицы.

Задача 1. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задаёт объёмы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - соответственно во втором; (а ij , в ij) – объёмы продукции j –го типа на i –м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

; .

а) объёмы продукции;

б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ – курс доллара по отношению к рублю.

Решение:

а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц, т.е. С=А+В=, где с ij – объём продукции j-го типа, произведённый за полугодие i-м заводом.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц, т.е.

Д=В-А= . Отрицательные элементы показывают, что на данном заводе объём производства уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.

в) Произведение λC= λ(А+В) даёт выражение стоимости объёмов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.

Задача 2. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат . Пусть за определённый отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа , записанное матрицей .

Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени, если

, . Решение . Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц, т.е. S=AX.

, т.е за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса 1-го вида, 960 ед. ресурса 2-го вида, 450 ед. ресурса 3-го вида, 630 ед. ресурса 4-го вида.

Задача 3. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат хорошо работать в 80% случаев. Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?

Решение.

В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6, а доля требующих регулировки – 0,4. Через месяц доля хороших составит: 0,6 . 0,8+0,4 . 0,35=0,62. Доля требующих регулировки: 0,6 . 0,2+0,4 . 0,65=0,38. введём строку состояния X t в момент t; X t =(x 1 t ; x 2 t), где x 1 t – доля хороших двигателей, x 2 t – доля двигателей, требующих регулировки в момент t.

Матрица перехода , где - доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии (1- «хороший», 2- «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии .

Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы неотрицательны.

Очевидно, =(0,6 0,4), .

Тогда через месяц ,

через 2 месяца ; через 3 месяца .

Найдём матрицы ;

Отметим, что если - матрица перехода, то - тоже матрица перехода при любом натуральном t. Теперь

,

Очевидно, .

Задача 3. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: а) в минувшем году; б) в текущем году?

Решение.

Пусть и - прибыли первого и второго отделений в минувшем году. тогда условие задачи можно записать в виде системы: Решив систему, получим Следователь, а) прибыль в минувшем году первого отделения -4 млн. усл. ед., а второго – 8 млн. усл. ед.; б) прибыль в этом году первого отделения 1,7 . 4=6,8 млн. усл. ед., второго 1,4 . 8=11,2 млн. усл. ед.

2.1. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А 1, А 2 , А 3 ; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В 1 и В 2 и проанализировать результаты:

; ; .

2.2. Предприятие производит мебель трёх видов и продаёт её в четырёх регионах. Матрица задаёт цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц задана матрицей .

2.3 . По условию задачи 2 определить:1) полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей и объём выпуска каждого из двух типов продукции ;

2) стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса .

2.4 . В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70 % которых требуют малого ремонта, 20 % - среднего ремонта, 10% - сложного ремонта. Статистически установлено, что 10% аппаратов прошедших малый ремонт, через год требуют малого ремонта, 60% - среднего, 30% -сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20% требуют через год малого ремонта, 50% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60% требуют малого ремонта, 40% - среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать ремонта того или иного вида: через 1 год; 2 года;3 года.

Практическое занятие.

Тема . Методы математического анализа для построения моделей СЭП.

Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, в которых применяются методы математического анализа.

1. Справочный материал.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используемые в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтения) – зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объёма продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Кроме геометрического и механического существует ещё и экономический смысл производной. Во-первых, производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент . Во-вторых, существует ещё одно понятие, характеризующее экономический смысл производной. Если издержки производства y рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x , - прирост продукции, - приращение издержек производства, а - среднее приращение издержек производства на единицу продукции, тогда производная равная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё, топливо ит.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, то есть изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных ит.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно предельные величины.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при :

. (1)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция y = f ( x ) при изменении независимой переменной x на 1%. Это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой.

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции , т.е. .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: , .

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x – коэффициент, определяемый по формуле (1) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если - нейтральным, если - неэластичным относительно цены (или дохода).

В практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими задачам, которые рационально решать методами математического анализа. Это задачи на нахождение объёма продукции при известном значении прибыли, определении уровня потребления товаров при известном доходе, определение момента времени рентабельности производства, определение размеров вклада при известных начальных вложениях и т.п.

Задача 1. Издержки y (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле , где - объём партии. Для первого варианта технологического процесса . Для второго варианта известно, что (руб.) при (дет.) и (руб.) при (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при (дет.)

Решение .

Для второго варианта определяем параметры и из системы уравнений:

откуда и , т.е. .

Точка (х 0 ,y 0) пересечения двух прямых находится из системы их уравнений:

откуда , .Очевидно, при объёме партии выгоднее второй вариант технологического процесса, при - первый вариант. Себестоимость продукции (руб.) при по первому варианту составляет , а по второму - .

Задача 2. Постоянные издержки составляют 125 тыс.руб. в месяц, а переменные издержки - 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объём продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс.руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства единиц продукции составят: (тыс.руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс.руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).

б) Прибыль (тыс.руб.), т.е. при (ед.).

Задача 3. Продолжительность выполнения (мин.) при повторных операциях связана с числом этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при , а при .

Решение . Найдём параметры и , учитывая, что , . Получаем систему: решая которую найдём , .

Итак, при , (мин.)

Задача 4. Объём продукции u, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед.), , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной (ед./час), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной : (ед./ч 2),

(ед./ч).

В заданные моменты времени и соответственно имеем: z(t)=112,5 (ед./ч), z’(t)=-20(ед./ч 2), T z (7)=-0,24 (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и T z (t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Задача 5. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара.

Найти: а) равновесную цену, т.е.цену при которой спрос равен предложению;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена находится из условия q = s , тогда , откуда p = 2, т.е равновесная цена 2 ден.ед.

б) Найдём эластичность по спросу и предложению по формуле (1)

; . Для равновесной цены p =2 имеем ; . Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5 . 0,3=1,5%, следовательно, доход возрастёт на 3,5%.

Задача 6. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек выражается соотношением ; при x = 10средние издержки (на единицу продукции) равны (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной ; при x = 10 предельные издержки составят (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) , составляют 35 ден.ед.

Задача 7. Выяснить, чему равны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение . Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией , где x – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты y 1 на производство единицы продукции . Эластичность частного двух функции равна разности их эластичностей, т.е. .

По условию , следовательно, . Это означает, что с изменением объёма продукции средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е., откуда .

предельные издержки предприятия определяются производной . Итак, т.е предельные издержки равны средним издержкам(полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).

2. Задания для самостоятельной работы.

2.1. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются уравнениями: и , где - расстояния в сотнях километров, - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

2.2. Зная, что изменение объёма производства с изменением производительности труда происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при =3 =185, а при =5 =305. Определить объём производства при =20.

2.3 . Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

2.4. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.

2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.

Указание. Размер вклада через t лет определяется по формуле , где p -процентная ставка за год, Q 0 –первоначальный вклад.

2.6. Затраты на производство продукции (тыс.руб.) выражаются уравнением , где -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением . Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.

Практическое занятие.

Тема. Предельный анализ экономических процессов.

Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.

1.Справочный материал.

Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль , где D ( x ) - доход от производства x единиц продукта.

Средние издержки A ( x ) при производстве x единиц продукта есть .Предельные издержки .

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение x единиц продукта, при котором прибыль P ( x ) оказывается наибольшей.

Задача 1. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A ( x ) . В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки принимают минимальное значение при x =10. Предельные издержки . При установившейся цене оптимальное значение P ( x ) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: , т.е. 4=M ( x ) , откуда . Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 p =14 , если известен вид функции издержек .

Решение . По формуле прибыли получаем, .

Находим производную прибыли по объёму: , тогда х опт = 2.

Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р =10,5 и функция издержек имеет вид.

Решение . Находим значение прибыли .

Производная прибыли по объёму имеет вид: . Тогда , . .

2. Задания для самостоятельной работы .

2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =8 и известен вид функции издержек .

2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек .

2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу . Определить оптимальное для монополии значение выпуска x 0 (предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид .

2.4 Функция издержек имеет вид . Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р =37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?

Задания для контрольной работы.

Задача 1.

Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.

Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;

2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту

максимальную выручку.

Построить график зависимостей.

Задача 2.

Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности . Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.

Проверить: 1) равновесно ли положение;

2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:

Задача 3.

Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.

Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.

№ варианта	1 задание	2 задание	3 задание
1		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
2		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
3		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
4		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
5		(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)
6		(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)
7		(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
8		(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)
9		(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
10		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
11		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
12		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
13		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
14		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
15		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
16		(4,2,3), (4,3,4),
17		(3,2,3), (4,3,4),
18		(3,2,3), (2,4,6),
19

Группа экономико-математических методов делится на две подгруппы:

· Методы математической экстраполяции;

· Методы математического моделирования.

Математическая экстраполяция представляет собой распространение закона изменения функции из области ее наблюдения на область, лежащую вне отрезка наблюдения.

Методы экстраполяции основываются на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключается в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее.

Суть состоит в том, что траектория развития объекта до момента, с которого начинается прогнозирование ею будущего развития, может быть выражена после соответствующей обработки фактических данных какой либо математической функцией, адекватно описывающей закономерности предшествующего развития объекта

В зависимости от особенностей изменения уровней в ряду динамики приемы экстраполяции могут быть простыми и сложными.

Первую группу составляют методы прогнозирования, основанные на предположении относительного постоянства в будущем абсолютных значений уровней, среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста.

Вторая группа методов основана на выявлении основной тенденции, то есть применении статистических формул, описывающих тренд. Их можно разделить на два основных типа: на адаптивные и аналитические (кривые роста). Адаптивные методы прогнозирования основаны на том, что процесс реализации их заключается в вычислении последовательных во времени значений прогнозируемого показателя с учетом степени влияния предыдущих уровней. К ним относятся методы скользящей и экспоненциальной средних, метод гармонических весов, метод авторегрессионых преобразований.

В основе аналитических методов (кривых роста) прогнозирования положен принцип получения с помощью метода наименьших квадратов оценки детерминированной компоненты Ft, характеризующей основную тенденцию.

Суть метода состоит в том, что траектория развития объекта до момента, с которого начинается прогнозирование, может быть выражена после соответствующей обработки фактических данных какой-либо математической функцией адекватно описывающей закономерности предшествующего развития. Она осуществляется следующим образом:

1. необходимо получить достаточно продолжительный во времени ряд показателей;

2. необходимо построить эмпирическую кривую, графически отображающую динамику этого показателя во времени;

3. необходимо выровнять ряд с помощью граф анализа или статистического подбора функций, который максимизирует приближение к фактическим значениям динамического ряда;

4. исчисляем коэффициент или параметр этой функции (a,b,c…), в результате получится простейшая математическая модель, пригодная для прогноза во времени, при этом предполагают, что совокупный фактор, определяющий тенденции динамического ряда в прошлом в среднем сохранит свою силу.

В экономических исследованиях наиболее распространенным методом прогнозной экстраполяции является метод, основанный на сглаживании временных рядов.

Последовательность расположенных в хронологическом порядке статистических показателей, которые характеризуют изменение экономического явления во времени, представляет собой временной (динамический) ряд. Отдельные значения показателей (наблюдения) временного ряда называются уровнями этого ряда.

Временные ряды подразделяются на моментные и интервальные.

Целью анализа временных рядов экономических явлений за определенный интервал времени является установление тенденции их изменения за рассматриваемый период, которая покажет направление развития изучаемого явления.

Для того чтобы выявить общую тенденцию изменения экономических явлений в течение изучаемого периода времени, следует провести сглаживание временного ряда. Необходимость сглаживания временных рядов обусловлена тем, что помимо влияния на уровни ряда главных факторов, которые в конечном итоге формируют конкретное значение неслучайной компоненты (тренда), на них действуют случайные факторы, которые вызывают отклонения фактических (наблюдаемых) значений уровней ряда от тренда.

Под трендом понимается характеристика основной тенденции временного ряда значений определенного показателя, т.е. основная закономерность движения его во времени, свободная от случайных воздействий.

Таким образом, отдельные уровни временного ряда (y t ) представляют собой результат воздействия главных факторов, которые формируют конкретное значение неслучайной (детерминированной) компоненты (), а также случайной компоненты (е t), обусловленной воздействием случайных факторов, значение которой составляет отклонение фактических (наблюдаемых) значений уровней ряда от тренда. Для устранения случайных отклонений осуществляется сглаживание временного ряда.

Неслучайные компоненты уровней временного ряда могут быть выражены некоторой аппроксимирующей функцией, отражающей закономерности развития исследуемого явления.

Рассмотрим прогнозную экстраполяцию, основанную на сглаживании временных рядов по методу наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов состоит в определении параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда, т.е. в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами.

Таким образом, суть сглаживания временного ряда наблюдаемых значений показателя состоит в том, что фактические (наблюдаемые) уровни ряда заменяются уровнями, рассчитанными на основе определенной функции, которая в наибольшей степени соответствует наблюдаемым значениям показателей динамического ряда.

Графиком линейной функции является прямая.

Для того чтобы определить параметры а и А уравнения прямой, следует решить систему уравнений:

Часто данные временного ряда имеют нелинейную зависимость, которая выражается в виде квадратичной функции: у = ах 2 + bх + с. Графиком квадратичной функции является парабола. Для того чтобы определить параметры а,b, с уравнения параболы, следует решить систему уравнений:

Экономико-математическое моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков.

Экономико-математическая модель - это система формализованных соотношений, которые описывают основные взаимосвязи элементов, образующих определенную экономическую систему.

В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, отраслевые, региональные модели и модели макроуровня (отдельных предприятий, фирм).

Примером экономико-математической модели на макроуровне может служить модель производственной функции при прогнозировании объема валового внутреннего продукта (ВВП) страны, которая имеет следующий вид:

Следует отметить, что расчет экономико-математических моделей проводится по соответствующим компьютерным программам.

Экономико-математические модели используются для разработки межотраслевого баланса, моделирование капитальных вложений, трудовых ресурсов и т. д.

Методы планирования как составная часть методологии планирования представляют собой совокупность расчетов, которые необходимы для разработки отдельных разделов и показателей плана и их обоснования. При этом широко используются достижения отраслевых экономических наук: экономической статистики; экономики промышленности; экономики сельского хозяйства; экономики строительства и других. При планировании показателей важно не только рассчитать их значение в плановом периоде, но и выявить возможные резервы его улучшения и вовлечь их в хозяйственный оборот.

К основным методам планирования, которые широко используются в экономической практике относятся следующие: балансовый метод; нормативный метод; программно-целевой метод; экономико-статистические методы; экономико-математические методы.

Балансовый метод - обеспечивает увязку потребностей и ресурсов как в масштабе всего общественного производства, так и на уровне отрасли и отдельного предприятия. В практике планирования применяются следующие виды балансов: 1) материальные балансы; 2) стоимостные балансы; 3) балансы трудовых ресурсов.

Принципиальная схема материального баланса в натуральных единицах измерения следующая:

К стоимостным балансам относятся: межотраслевой баланс производства и распределения продукции, работ и услуг; государственный бюджет и др. В качестве баланса трудовых ресурсов в одной из тем курса будет рассмотрен сводный баланс трудовых ресурсов.

Нормативный, метод планирования основан на разработке и использовании в планировании норм и нормативов. В качестве примера можно привести норму расхода различных материалов в натуральном измерении на единицу выпускаемой продукции. В качестве нормативов можно привести, как пример, норматив отчисления денежных средств из прибыли предприятия в виде налогов.

Программно-целевой метод планирования основан на разработке социально-экономических программ для решения отдельных социально-экономических проблем. Этот метод предусматривает определение комплекса взаимосвязанных организационно-правовых и финансово-экономических мероприятий, направленных на реализацию разработанных программ. Использование этого метода предусматривает концентрацию ресурсов на решение важнейших проблем.

Экономико-статистические методы планирования представляют собой совокупность отдельных методов, с помощью которых рассчитываются отдельные социально-экономические показатели на плановый период и их динамика. Определяется абсолютная и относительная динамика показателей, т.е. изменение их во времени.

2.Экономико-математические методы и модели.

Все существующие модели могут быть условно разделены на два класса - модели материальные, т.е. объективно существующие (которые можно "потрогать руками"), и модели абстрактные, существующие в сознании человека. Одним из подклассов абстрактных моделей являются модели математические.

Предметом данного изучения будут математические модели, применяемые для анализа различных явления и процессов, имеющих экономическую природу.

Применение математических методов существенно расширяет возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений.

Математические модели экономики, отражая с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем.

В современной научно-технической деятельности математические модели являются важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления – доминирующей формой.

Математические модели экономических процессов и явлений называют экономико-математическими моделями (ЭММ).

На базе использования ЭММ реализуются прикладные программы, предназначенные для решения задач экономического анализа, планирования и управления.

Математические модели являются важнейшим компонентом (наряду с базами данных, техническими средствами, человеко-машинным интерфейсом) так называемых систем поддержки решений.

Система поддержки решений (CПР) - это человеко-машинная система, позволяющая использовать данные, знания, объективные и субъективные модели для анализа и решения слабоструктурированных и неструктурированных проблем.

Классифицировать экономико-математические модели можно по различным основаниям:

По целевому назначению модели можно разделить на:

1. теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее

   общих свойств и закономерностей развития экономических процессов;

   прикладные, используемые для решения конкретных задач.

По уровням исследуемых экономических процессов:

1. производственно-технологические;

   социально-экономические.

По характеру отражения причинно-следственных связей:

1. детерминированные;

   недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие фактор неопределённости.

По способу отражения фактора времени:

1. статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени;

   динамические, характеризующие изменения процессов во времени.

По форме математических зависимостей:

1. линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего получили большое распространение;

   нелинейные.

По степени детализации (степени огрубления структуры):

1. агрегированные ("макромодели");

   детализированные ("микромодели").

Для понимания структуры важное значение имеет схема, представленная на рисунке 1.3. В правой части рисунка показаны основные классы экономико-математических методов (классификация по используемому математическому аппарату), а в левой части - важнейшие направления применения методов.

Следует помнить также, что каждый из методов может быть применен для решения различных по специфике задач. И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами.

расход рынок программирование математический

Рисунок 1.3 - Важнейшие области применения основных классов ЭММ

На схеме экономико-математические методы представлены в виде некоторых укрупненных группировок. В двух словах опишем их.

Линейное программирование - линейное преобразование переменных в системах линейных уравнений. Сюда можно отнести: симплекс-метод, распределительный метод, статический матричный метод решения материальных балансов.

Дискретное программирование представлено двумя классами методов: локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, например, метод ветвей и границ.

Математическая статистика используется для корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.

Динамическое программирование используется для планирования и анализа экономических процессов во времени. Динамическое программирование представляется в виде многошагового вычислительного процесса с последовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят сюда же имитационное моделирование.

Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для определения стратегии поведения конфликтующих сторон.

Теория массового обслуживания - большой класс методов, где на основе теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, характеризуемых как системы массового обслуживания.

Теория управления запасами объединяет в себе методы решения задач, в общей формулировке сводящихся к определению рационального размера запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.

Стохастическое программирование. Здесь исследуемые параметры являются случайными величинами.

Нелинейное программирование относится к наименее изученному, применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому направлению.

Теория графов - направление математики, где на основе определенной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики.

Принципы построения экономико-математических моделей

Итак, рассмотрим основные принципы построения ЭММ:

Принцип достаточности исходной информации. В каждой модели должна использоваться только та информация, которая известна с точностью, требуемой для получения результатов моделирования.

Принцип инвариантности (однозначности) информации требует, чтобы входная информация, используемая в модели, была независима от тех параметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии исследования.

Принцип преемственности. Сводится к тому, что каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях.

Принцип эффективной реализуемости. Необходимо, чтобы модель могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.

Основные этапы процесса моделирования были рассмотрены выше (рисунок 1.2). В различных отраслях знаний они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - Этапы экономико-математического моделирования

1. Постановка проблемы и её качественный анализ. Главное на этом этапе - чётко сформулировать сущность проблемы, определить принимаемые допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ.

Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта, основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь же происходит формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих поведение объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации задачи, т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали.

Неправильно полагать, что, чем больше факторов учитывает модель, тем лучше она работает и дает лучшие результаты. Излишняя сложность модели затрудняет процесс исследования. При этом нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

3. Математический анализ модели. Цель - выявление общих свойств и характеристик модели. Применяются чисто математические приёмы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удастся доказать, что задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по данному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда не удается выяснить общих свойств модели аналитическими методами, а упрощение модели приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Численное моделирование предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время реальные возможности получения информации существенно ограничивают выбор используемых моделей. При этом принимается во внимание не только возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффекта от использования данной информации.

5. Численное решение. Это составление алгоритмов, разработка программ и непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.

6. Анализ результатов и их применение. На заключительной стадии проверяются правильность, полнота и степень практической применимости полученных результатов.

Естественно, что после каждой из перечисленных стадий возможен возврат к одной из предыдущих в случае необходимости уточнения информации, пересмотра результатов выполнения отдельных этапов. Например, если на этапе 2 формализовать задачу не удается, то необходимо вернуться к постановке проблемы (этап 1). Соответствующие связи на рисунке 1.4 не показаны, чтобы не загромождать схему. Таким образом, выясним, как соотносятся между собой общая схема процесса моделирования (рисунок 1.2) и этапы экономико-математического моделирования (рисунок 1.4). Первые пять стадий более дифференцированно характеризуют процесс экономико-математического исследования, чем общая схема: стадии 1 и 2 соответствуют этапу I общей схемы, стадии 3, 4 и 5 - этапу II. Напротив, стадия 6 включает этапы III и IV общей схемы.

Предыдущая статья: Что делать, когда плохо на душе и хочется плакать Следующая статья: Служебный роман закончился: Как работать с бывшим парнем?