Задания для решения двойственных злп. Прямая и двойственная задача линейного программирования. Симметричная двойственная задача
≤ = ≥ |
≤ = ≥ |
≤ = ≥ |
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Симплекс метод
Примеры решения ЗЛП симплекс методом
Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:
 |
Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:
Запишем текущий опорный план:
 |
Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x
при 
. min
(40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x
3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x
2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.
Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x
1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем 
при 
. min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x
4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x
1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.
Симплекс таблица примет следующий вид:
Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными 
нет отрицательных элементов.
Решение можно записать так: 
.
Значение целевой функции в данной точке: F
(X
)=
.
Пример 2. Найти максимум функции
Р е ш е н и е.
Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.
Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.
Симплекс таблица примет вид:
Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x
2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем 
при 
. Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.
Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса
Пример 1. Найти максимум функции
Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:
 |
Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:
Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.
Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.
Симплекс таблица примет вид:
Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем 
при 
соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.
Симплекс таблица примет следующий вид:
Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем 
при 
соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x
2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x
1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.
Симплекс таблица примет следующий вид:
Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x
3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем 
при 
соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x
5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x
3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.
Симплекс таблица примет следующий вид:
Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.
Решение исходной задачи можно записать так:
Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:
Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:
Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.
Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.
Симплекс таблица примет вид:
В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.
Можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования , состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции
при условиях
(33)
(34)
Определение 1. Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции
при условиях
(36)
(37)
называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:
1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.
2. Матрица
(38)
составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица
(39)
в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).
3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.
4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи.
5. Если переменная x j исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j –е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “? ”. Если же переменная x j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе (54) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i –я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная у j может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.
Пример 1. Составить двойственную задачу по отношению к задаче, состоящей в максимизации функции
(40)
при условиях
(41)
Решение. Для данной задачи
и 
Число переменных в двойственной задаче равно числу уравнений в системе (41), т. е. равно трем. Коэффициентами в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы уравнений (41), т.е. числа 12, 24, 18.
Целевая функция исходной задачи (40) – (42) исследуется на максимум, а система условий (41) содержит только уравнения. Поэтому в двойственной задаче целевая функция исследуется на минимум, а ее переменные могут принимать любые значения (в том числе и отрицательные). Так как все три переменные исходной задачи (40) – (42) принимают только лишь неотрицательные значения, то в системе условий двойственной задачи должны быть три неравенства вида “? ”. Следовательно, для задачи (40) – (42) двойственная задача такова: найти минимум функции при условиях
Пример 2. Для задачи, состоящей в максимизации функции
при условиях
сформулировать двойственную задачу.
Решение. Для данной задачи
, 
В соответствии с общими правилами задача,
двойственная по отношению к данной, формулируется следующим образом: найти
минимум функции 
при
условиях
Связь между решениями прямой и двойственной задач
Рассмотрим пару двойственных задач, образованную основной задачей линейного программирования и двойственной к ней. Исходная задача: найти максимум функции
при условиях
(44)
Двойственная задача: найти минимум функции
при условиях
(47)
Каждая из задач двойственной пары (43) – (45) и (46), (47) фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении оптимального плана одной из задач тем самым находится решение и другой задачи.
Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются сформулированными ниже леммами и теоремами двойственности.
Лемма 1. Если Х – некоторый план исходной задачи (43) – (45), Y – произвольный план двойственной задачи (46), (47), то значение целевой функции исходной задачи при плане Х всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y, т. е.
Лемма 2. Если для некоторых планов X * и Y * задач (43) – (45) и (46), (47), то X * – оптимальный план исходной задачи, а Y * – оптимальный план двойственной задачи.
Теорема 8 (первая теорема двойственности). Если одна из задач двойственной пары (43) – (45) или (46), (47) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е.
Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары неограничена (для исходной (43) – (45) – сверху, для двойственной (46), (47) – снизу), то другая задача вообще не имеет планов.
Теорема 9
(вторая теорема двойственности).
План 
задачи (43) – (45) и план 
задачи (46),
(47) являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда,
когда для любого выполняется
равенство
Геометрическая интерпретация двойственных задач
Если число переменных в прямой и двойственной задачах, образующих данную пару, равно двум, то, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования, можно легко найти решение данной пары задач. При этом имеет место один из следующих трех взаимно исключающих друг друга случаев: 1) обе задачи имеют планы; 2) планы имеет только одна задача; 3) для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.
Пример 3.
составить двойственную задачу и найти решение обеих задач.
Решение. Двойственной задачей по отношению к исходной является задача, состоящая в определении минимального значения функции при условиях
Как в исходной, так и в двойственной задаче число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение можно найти, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования (рис. 7 и 8).
Как видно из рис. 8, максимальное значение целевая функция исходной задачи принимает в точке В. Следовательно, Х * = (2, 6) является оптимальным планом, при котором . Минимальное значение целевая функция двойственной задачи принимает в точке Е (рис. 8). Значит, Y * =(1; 4) является оптимальным планом двойственной задачи, при котором Таким образом, значения целевых функций исходной и двойственной задач при их оптимальных планах равны между собой.
Из рис . 7 видно, что при всяком плане исходной задачи значение целевой функции не больше 46. Одновременно, как видно из рис . 8, значение целевой функции двойственной задачи при любом ее плане не меньше 46. Таким образом, при любом плане исходной задачи значение целевой функции не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при ее произвольном плане.
Пример 4.
Найти решение двойственной пары задач.
Исходная задача;
Двойственная задача:
Решение. Как исходная, так и двойственная задача содержат по две переменные. Поэтому их решение находим, используя геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования (рис. 7 и 8). Из рис . 7 видно, что исходная задача не имеет оптимального плана из-за неограниченности снизу ее целевой функции на множестве допустимых решений.
Из рис . 10 следует, что двойственная задача не имеет планов, поскольку многоугольник решений ее пуст. Это означает, что если исходная задача двойственной пары не имеет оптимального плана из-за неограниченности на множестве допустимых решений ее целевой функции, то двойственная задача также не имеет планов.
Нахождение решения двойственных задач. Рассмотрим пару двойственных задач – основную задачу линейного программирования (43) – (45) и двойственную к ней задачу (46), (47).
Предположим, что с помощью симплексного метода найден оптимальный план X * задачи (43) – (45) и этот план определяется базисом, образованным .
Обозначим через 
вектор-строку,
составленную из коэффициентов при неизвестных в целевой функции (43)
задачи (43) – (45), а через –
матрицу, обратную
матрице Р
, составленной из
компонент векторов базиса. Тогда имеет место
следующее утверждение.
Теорема 10. Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план X * , то является оптимальным планом двойственной задачи.
Таким образом, если найти симплексным методом оптимальный план задачи (43) – (45), то, используя последнюю симплекс–таблицу , можно определить и и с помощью соотношения найти оптимальный план двойственной задачи (46), (47).
В том случае, когда среди векторов , составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (44), имеется т единичных, указанную матрицу образуют числа первых т строк последней симплекс–таблицы, стоящие в столбцах данных векторов. Тогда нет необходимости определять оптимальный план двойственной задачи умножением на , поскольку компоненты этого плана совпадают с соответствующими элементами (m +1)–й строки столбцов единичных векторов, если данный коэффициент , и равны сумме соответствующего элемента этой строки и если
Сказанное выше имеет место и для симметричной пары двойственных задач. При этом так как система ограничений исходной задачи содержит неравенства вида “ ”, то компоненты оптимального плана двойственной задачи совпадают с соответствующими числами (m +1)–й строки последней симплекс–таблицы решения исходной задачи. Указанные числа стоят в столбцах векторов, соответствующих дополнительным переменным.
Пример 15. Для задачи, состоящей в определении максимального значения функции при условиях
составить двойственную задачу и найти ее решение.
Решение.
Двойственная задача по отношению к исходной
состоит в нахождении минимума функции 
при
условиях
Чтобы найти решение двойственной задачи,
сначала находим решение исходной задачи методом искусственного базиса. Оно
приведено в таблице 12.
Из последней симплекс-таблицы видно, что
двойственная задача имеет решение 
Оптимальные двойственные оценки
удовлетворяют всем условиям двойственной задачи. При этом минимальное
значение целевой функции двойственной задачи, равное 
совпадает с
максимальным значением целевой функции исходной
задачи.
Таблица 12
| i | Базис | С б | p 0 | 1 | 2 | -1 | 0 | 0 | -M |
| p 1 | p 2 | p 3 | p 4 | p 5 | p 6 | ||||
| 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 |
p4 p5 p6 P4 P2 |
0 0 -M 0 |
12 17 4 0 -4 14 15 2 2 4 9 4 12 |
-1 1 2 -1 -2 0 0 1 0 0 0 1 0 |
4 1 -1 -2 1 7/2 3/2 -1/2 -5/2 1 0 0 0 |
-2 2 2 1 -2 -1 1 1 2 -2/7 13/7 6/7 9/7 |
1 0 0 0 0 1 0 0 0 2/7 -3/7 1/7 5/7 |
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 |
0 0 1 0 0 1/2 -1/2 1/2 1/2 1/7 -5/7 4/7 6/7 |
Экономическая интерпретация двойственных задач
Экономическую интерпретацию двойственных задач и двойственных оценок рассмотрим на примере.
Пример 6. Для производства трех видов изделий А , В и С используется три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в количестве, соответственно не большем 180, 210 и 244 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице 13.
Определить план выпуска продукции, при котором обеспечивается ее максимальная стоимость, и оценить каждый из видов сырья, используемых для производства продукции. Оценки, приписываемые каждому из видов сырья, должны быть такими, чтобы оценка всего используемого сырья была минимальной, а суммарная оценка сырья, используемого на производство единицы продукции каждого вида,– не меньше цены единицы продукции данного вида.
Таблица 13
|
Вид сырья |
Нормы затрат сырья (кг ) на единицу продукции |
||
|
Цена единицы продукции (руб.) |
|||
Решение. Предположим, что производится x 1 изделий А , изделий В и изделий С. Для определения оптимального плана производства нужно решить задачу, состоящую в максимизации целевой функцииу 3 должны удовлетворять следующей системе неравенств:
(52)
Как видно, задачи (48) – (50) и (51) – (53) образуют симметричную пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план производства изделий A , В и С , а решение двойственной – оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этих изделий. Чтобы найти решение этих задач, следует сначала отыскать решение какой–либо одной из них. Так как система ограничений задачи (48) – (50) содержит лишь неравенства вида “ ”, то лучше сначала найти решение этой задачи. Ее решение приведено в таблице 14.
Из этой таблицы видно, что оптимальным
планом производства изделий является такой, при котором изготовляется 82
изделия В
и 16 изделий С.
При данном плане производства остается неиспользованным 80 кг сырья II
вида, а общая стоимость изделий равна 1340 руб. Из таблицы 14 также видно,
что оптимальным решением двойственной задачи является 
Таблица 14
| i | Базис | С б | p 0 | 10 | 14 | 12 | 0 | 0 | 0 |
| p 1 | p 2 | p 3 | p 4 | p 5 | p 6 | ||||
| 1 2 3 |
p 2 p 5 p 3 |
14 0 12 |
82 80 16 1340 |
19/8 23/8 -3/4 57/4 |
1 0 0 0 |
0 0 1 0 |
5/8 1/8 -1/4 23/4 |
0 1 0 0 |
-1/8 -5/8 1/4 5/4 |
Переменные и обозначают условные двойственные оценки единицы сырья, соответственно I и III видов. Эти оценки отличны от нуля, а сырье 1 и III видов полностью используется при оптимальном плане производства продукции. Двойственная оценка единицы сырья II вида равна нулю. Этот вид сырья не полностью используется при оптимальном плане производства продукции.
Таким образом, положительную двойственную оценку имеют лишь те виды сырья, которые полностью используются при оптимальном плане производства изделий. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность используемого предприятием сырья. Более того, величина данной двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества сырья соответствующего вида на 1 кг. Так, увеличение количества сырья I вида на 1 кг приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства изделий, при котором общая стоимость изготовляемой продукции возрастет на 5,75 руб. и станет равной 1340+5,75= 1345,75 руб. При этом числа, стоящие в столбце вектора таблицы 14, показывают, что указанное увеличение общей стоимости изготовляемой продукции может быть достигнуто за счет увеличения выпуска изделий В на 5/8 ед. и сокращения выпуска изделий С на 1/4 ед. Вследствие этого использование сырья II вида уменьшится на 1/8 кг. Точно так же увеличение на 1 кг сырья III вида позволит найти новый оптимальный план производства изделий, при котором общая стоимость изготовляемой продукции возрастет на 1,25 руб. и составит 1340+1,25=1341,25 руб. Это будет достигнуто в результате увеличения выпуска изделий С на 1/4 ед. и уменьшения изготовления изделий В на 1/8 ед., причем объем используемого сырья II вида возрастет на 5/8 кг.
Продолжим рассмотрение оптимальных двойственных оценок. Вычисляя минимальное значение целевой функции двойственной задачи
видим, что оно совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи. При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получаем
Первое ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка сырья, используемого на производство одного изделия вида А , выше цены этого изделия и, следовательно, выпускать изделия вида А невыгодно. Его производство и не предусмотрено оптимальным планом прямой задачи. Второе и третье ограничения двойственной задачи выполняются как строгие равенства. Это означает, что двойственные оценки сырья, используемого для производства единицы соответственно изделий В и С , равны в точности их ценам. Поэтому выпускать эти два вида продукции по двойственным оценкам экономически целесообразно. Их производство и предусмотрено оптимальным планом прямой задачи.
Таким образом, двойственные оценки тесным образом связаны с оптимальным планом прямой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план, так и на систему оптимальных двойственных оценок. Поэтому, чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок, нужно знать их интервал устойчивости. К рассмотрению этого мы сейчас и перейдем.
Структура и свойства двойственной задачи
Любую задачу максимизации ЛП с экономической точки зрения можно рассматривать как задачу о распределении ограниченных ресурсов b 1 ,b 2 ,…,b m между различными потребителями, например, между некоторыми технологическими процессами, которые представляются столбцамиA 1 ,A 2 ,…A n матрицы ограничений задачи. Любое допустимое решение задачи ЛПx 1 ,x 2 ,…x n дает конкретное распределение, указывающее ту долю каждого из ресурсов, которая должна быть использована при осуществлении соответствующего технологического процесса.
Рассмотрим пример. Завод производит три вида продукции x 1 ,x 2 иx 3 , каждый из которых требует затрат времени на обработку на токарном, фрезерном и сверлильном станках. Количество машинного времени для каждого из станков ограничено. Пустьc 1 ,c 2 ,c 3 – прибыль от реализации единицы соответствующего вида продукции. Необходимо определить, какое количество каждого вида продукции необходимо производить в течение недели, чтобы получить максимальную прибыль.
Формально эта задача записывается так:
максимизировать (c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 3 x 3) (1)
при ограничениях
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ≤ b 1 ;
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ≤ b 2 ;
a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ≤b 3 , (2)
где a 1 j ,a 2 j ,a 3 j – время, необходимое для обработки единицыj-го вида продукции соответственно на токарном, фрезерном и сверлильном станках (j= 1, 2, 3);b 1 ,b 2 ,b 3 – недельный ресурс машинного времени соответственно для токарного, фрезерного и сверлильного станков.
Обозначим y 1 ,y 2 иy 3 –цену единицы времени работы на токарном, фрезерном и сверлильном станках. Тогдаa 11 y 1 +a 21 y 2 +a 31 y 3 – можно трактовать как расходы на изготовление единицы продукции первого вида;a 12 y 1 +a 22 y 2 +a 32 y 3 – расходы на изготовление единицы продукта второго вида и т. д.
Предположим, что цены ресурсов y 1 ,y 2 ,…,y m выбраны так, что выполняются следующие соотношения:
a 11 y 1 + a 21 y 2 + a 31 y 3 ≥ с 1 ;
a 12 y 1 + a 22 y 2 + a 32 y 3 ≥ с 2 ;
a 13 y 1 +a 23 y 2 +a 33 y 3 ≥ с 3 . (3)
Поскольку b 1 ,b 2 иb 3 – использованный ресурс машинного времени для каждого из станков, тоb 1 y 1 +b 2 y 2 +b 3 y 3 – суммарные расходы на производство.
Требуется найти такие y 1 ,y 2 иy 3 , удовлетворяющие условиям (3), при которых минимизируются суммарные расходы на производство:
минимизировать g(y 1 ,y 2 ,y 3)=b 1 y 1 +b 2 y 2 +b 3 y 3 (4)
при условиях
y 1 ≥0;y 2 ≥0;y 3 ≥0.
Такую задачу называют двойственной задачей по отношению к задаче (1), называемой прямой.
Запишем теперь прямую и двойственную задачи в общем случае.
Прямая задача :
максимизировать
при условиях
(7)
Двойственная задача :
минимизировать
при условиях
(10)
В матричном виде пара двойственных задач записывается следующим образом:
максимизировать
при условиях
минимизировать
при условиях
A T y≥c; (15)
Сопоставляя формы записи прямой и двойственной задач, можно установить между ними следующие взаимосвязи:
если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации, и наоборот;
коэффициенты целевой функции прямой задачи c 1 ,c 2 ,…,c n становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;
свободные члены ограничений прямой задачи b 1 ,b 2 ,…,b m становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
матрицу ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы ограничений прямой задачи;
знаки неравенств в ограничениях изменяются на обратные;
число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.
Переменные y 1 ,y 2 ,…,y m двойственной задачи иногда называют теневыми ценами.
Двойственную задачу выгоднее решать, чем исходную прямую, если в прямой
задаче при малом количестве переменных имеется большое количество ограничений (m n).
Связь между оптимальными решениями прямой и двойственной задач устанавливают посредством следующих теорем двойственности.
ТЕОРЕМА 1. Если -допустимые решения прямой и двойственной задач, т. е. то
т.е. значения целевой функции прямой задачи никогда не превышают значения целевой функции двойственной задачи.
ТЕОРЕМА 2 (основная теорема двойственности). Если -допустимые решения прямой и двойственной задач и если , то – оптимальные решения пары двойственных задач.
ТЕОРЕМА 3. Если в оптимальном решении прямой задачи (5) – (7) i -ое ограничение выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, т. е.
где - i -ая строка матрицы А.
Смысл теоремы 3 состоит в следующем. Если некоторый ресурс имеется в избытке иi-е ограничение при оптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то оно становится несущественным, и оптимальная цена соответствующего ресурса равна 0.
Теорему 3 дополняет теорема 4, устанавливающая взаимосвязь между оптимальным решением прямой задачи и ограничениями двойственной.
ТЕОРЕМА 4.
Если в оптимальном
решении двойственной задачи ограничение
j
выполняется как
строгое неравенство, то оптимальное
значение соответствующей переменной
прямой задачи должно быть равно нулю,
т. е. если
то
Дадим экономическую интерпретацию теоремы 4.
Поскольку величины представляют собой цены соответствующих ресурсов, то
–это затраты на j-й технологический процесс, величина - прибыль от реализации на единицу изделия. Поэтому с экономической точки зрения теорема 2.7 означает следующее: еслиj-й технологический процесс оказывается строго невыгодным с точки зрения оптимальных цен ресурсов , то в оптимальном решении прямой задачи интенсивность данного технологического процесса должна быть равно 0.
Таким образом, теорема 4 выражает принцип рентабельности оптимально организованного производства.
Из нее вытекает также, что то
(20)
Предположим, что среди переменных x 1 ,x 2 ,…,x n прямой задачи есть множество изmпеременных, которые в оптимальном решении имеют ненулевое значение. Пусть, например, таковыми оказались первые по порядкуmпеременных.
Тогда на основании уравнения (22) получают mусловий рентабельности:
(21)
Приведем еще две важные теоремы теории двойственности.
ТЕОРЕМА 5 (теорема существования). Прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения тогда, и только тогда, когда обе они имеют допустимые решения.
ТЕОРЕМА 6 (теорема двойственности). Допустимый вектор x 0 оптимален тогда, и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y 0 , что
Между оптимальным решениями прямой и двойственной задачи, элементами индексных строк симплекс-таблиц, соответствующих этим решениям, существует следующая взаимосвязь:
i=1, 2, …,m;j=1, 2, …,n,
где n– количество переменных прямой задачи;m– количество ее ограничений; - соответствующие элементы индексной строки прямой и двойственной задач соответственно. При этом, еслиn+i, где 1 ≤i≤mбольше числа векторов-столбцов матрицы ограничений расширенной формы соответствующей задачи, то элементы находятся путем циклической перестановки элементов индексной строки, начиная с элемента
Общий случай двойственности
В предыдущем разделе были установлены основные соотношения для пары двойственных ЛП-задач при ограничениях в форме неравенств. Обобщим теперь эти результаты на случай произвольных ограничений.
Пусть прямая ЛП-задача задана в виде:
максимизировать
при условиях
Тогда двойственная задача по отношению к (24)-(26) (или сопряженная с ней) состоит в минимизации линейной формы:
минимизировать
при условиях
Таким образом, задача, сопряженная с задачей со смешанными условиями, составляется согласно следующим правилам:
Если переменная x j прямой задачи предполагается неотрицательной, то j-е условие системы ограничений (28) является неравенством.
Если на x j не накладывается такое ограничение, то j-е ограничение двойственной задачи будет равенством.
Аналогичным образом связаны знаки переменных двойственной задачи y i и соответствующие им ограничения прямой задачи. Заметим, что если положитьm 1 =mиn 1 =n, то получим частный случай пары двойственных задач с ограничениями в форме неравенств.
По определённым правилам можно составить соответствующую задачу, называемую двойственной задачей .
Рассмотрим прямую задачу линейного программирования и двойственную задачу .
Прямая задача
.
Максимизировать функцию
при ограничениях
Двойственная задача
.
Минимизировать функцию
при ограничениях
Эти задачи обладают следующими свойствами:
Две задачи линейного программирования, удовлетворяющие указанным выше условиям, называются симметричными взаимно-двойственными задачами.
Мы обусловимся называть их просто взаимно-двойственными задачами.
Прямая и двойственная ей задача, взятые вместе, образуют пару взаимно двойственных задач, причём любую из них можно рассматривать как исходную, тогда другая окажется двойственной ей.
Итак мы рассмотрели соответствие между прямой и двойственной задачей линейного программирования, правда, пока только для задач, записанных в канонической форме. Сформулируем пока правила составления задачи, двойственной по отношению к исходной для канонической задачи (а позже перейдём к задаче, записанной в общей форме):
- Приводят все неравенства системы ограничений исходной задачи к неравенствам одного смысла(то есть с одним и тем же знаком): если в исходной задаче ищется максимум функции цели (линейной формы) - они записываются со знаком "меньше или равно", если же минимум - со знаком "больше или равно". Для этого неравенства, в которых это требование не выполняется, умножают на минус единицу.
- Выписывают матрицу A коэффициентов при переменных исходной задачи, полученых после преобразований, описанных в предыдущем пункте, и составляют матрицу A ", транспонированную относительно матрицы A .
- Составляют систему ограничений двойственной задачи, взяв в качестве коэффициентов при переменных элементы матрицы A ", а в качестве свободных членов - коэффициенты при переменных в функци цели исходной задачи и записывают неравенства противоположного смысла (то есть меняют знак) по сравнению с неравенствами, полученными в пункте 1.
- Составляют функцию цели (линейную форму) двойственной задачи, приняв за коэффициенты при переменных свободные члены системы ограничений исходной задачи, полученные в пункте 1.
- Указывают, что необходимо найти при решении двойственной задачи, а именно: минимум функции цели, если в исходной задаче ищется максимум, и максимум, если в исходной задаче ищется минимум.
- Записывают условие неотрицательности переменных двойственной задачи.
Пример 1. Составить задачу, двойственную следующей : найти максимум функции при ограничениях
Решение. Третье неравенство системы исходной задачи не удовлетворяет пункту 1 правил составления двойственной задачи. Поэтому умножим его на минус единицу:
Для облегчения составления двойственной задачи лучше пользоваться расширенной матрицей B , в которую наряду с коэффициентами при переменных системы ограничений исходной задачи запишем свободные члены и коэффициенты при переменных в функции цели, выделив для этой цели дополнительные столбец (отделён чертой) и строку (выделена красным цветом). Матрицу B транспонируем и, используя транспонированную матрицу B ", составляем задачу, двойственную исходной. Матрицы B и B " имеют вид
,
Таким образом, двойственная задача линейного программирования сводится к нахождению минимума функции при ограничениях
Перейдём теперь к случаю составления двойственной задачи, когда прямая задача записана в общей форме (в системе ограничений могут быть неравенства с разными знаками, а также уравнения, условие неотрицательности переменных не обязательно). Для таких задач правила следующие:
- Свободные члены в прямой задаче - коэффициенты функции цели в двойственной задаче.
- Коэффициенты функции цели в прямой задаче - свободные члены в двойственной задаче.
- Расширенная матрица в прямой задаче - транспонированная расширенная матрица в двойственной задаче.
- j -й неизвестный в прямой задаче неотрицательный - j -е неравенство в двойственной задаче со знаком "больше или равно".
- j -й неизвестный в прямой задаче без ограничения знака - j -е ограничение в двойственной задаче в виде уравнения.
- j -й неизвестный в прямой задаче неположительный - j -е неравенство в двойственной задаче со знаком "меньше или равно".
- i -е неравенство в прямой задаче со знаком "меньше или равно" - i -е неизвестный в двойственной задаче неотрицательный.
- i -е ограничение в прямой задаче в виде уравнения - i -й неизвестный в двойственной задаче без ограничения знака.
- i -е неравенство в прямой задаче со знаком "больше или равно" - i -й неизвестный в двойственной задаче неположительный.
Пример 2. Составить задачу, двойственную следующей
: найти минимум
функции 
при ограничениях
Решение. Как видим, прямая задача записана в общей форме. Это будем учитывать при расстановке знаков в условиях двойственной задачи. А пока, как и в предыдущем примере, произведём универсальное действие - составим матрицу B прямой задачи и транспонированную матрицу B " двойственной задачи:
,
Таким образом, двойственная задача линейного программирования сводится к нахождению максимума функции при ограничениях
Основные теоремы двойственности
Теория двойственности в линейном программировании строится на двух основных теоремах.
Теорема 1. Для прямой и двойственной задач в силе одно и только одно из следующих утверждений. 1. Если одна из задач линейного программирования имеет конечный оптимум, то и двойственная к ней задача также имеет конечный оптимум, причём оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, т. е. F max = Z min или F min = Z max . 2. Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы. 3. Обе задачи не имеют решения, так как системы ограничений противоречивы.
Прежде чем сформулировать следующую теорему, установим соответствия между переменными в исходной и двойственной задачах. Приготовьтесь: последует игра формул, которую с первого раза не каждый поймёт, но после ознакомления с примером 2 должны понять все.
При решении симплекс-методом исходной задачи для сведения системы неравенств к эквивалентной ей системе уравнений нужно ввести m добавочных неотрицательных переменных (по числу неравенств в системе ограничений) x n+1 , x n+2 , ..., x n+i , ..., x n+m , где i = 1, 2, ..., m означает номер неравенства, в которое была введена добавочная переменная x n+i .
Система ограничений двойственной задачи состоит из n неравенств, содержащих m переменных. Если решать эту задачу симплекс-методом, то следует ввести n добавочных неотрицательных переменных y m+1 , y m+2 , ..., y m+j , ..., y m+n , где j = 1, 2, ..., n означает номер неравенства системы ограничений двойственной задачи, в которое была введена добавочная переменная y m+j .
Всё вышесказанное было приведено для того, чтобы установить следующее соответствие между переменными в исходной и двойственной задачах линейного программирования:
x 1 ↔ y m+1
x 2 ↔ y m+2
x j ↔ y m+j
x n ↔ y m+n
x n+1 ↔ y 1
x n+2 ↔ y 2
x n+i ↔ y i
x n+m ↔ y m
То есть, основные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют добавочным переменным двойственной задачи, тоже в порядке их следования. В свою очередь добавочные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют основным переменным двойственной задачи, также в порядке их следования.
Иными словами, каждой первоначальной переменной исходной задачи x j (j = 1, 2, ..., n ) ставится в соответствие добавочная переменная y m+j , введённая в j -е неравенство двойственной задачи, а каждой добавочной переменной x n+i исходной задачи (i = 1, 2, ..., m ), введённой в i -е неравенство исходной задачи, - первоначальная переменная y i двойственной задачи.
Всё вышесказанное, как уже было отмечено, станет более понятным из примера 2, который будет вскоре после Теоремы 2.
Теорема 2. Компоненты оптимального решения одной из задач (прямой или двойственной) равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных в выражении функции цели (линейной формы) другой задачи (двойственной или прямой) при достижении ею оптимума и при условии, что полученное оптимальное решение не является вырожденным.
Из теорем 1 и 2 следует, что если решить одну из взаимно двойственных задач линейного программирования, то есть найти её оптимальное решение и оптимум функции цели, то можно записать оптимальное решение и оптимум функции цели другой задачи. Теперь пример, который поможет разложить всё вышеизложенное по полочкам.
Пример 3. На основании решений прямой и двойственной задач линейного программирования из примера 1 убедиться в справедливости теорем 1 и 2.
В примере 1 была дана исходная задача: найти максимум функции при ограничениях
Мы составили двойственную ей задачу: найти минимум функции при ограничениях
Для решения прямой задачи симплекс-методом система ограничений-неравенств сводится к системе уравнений путём введения добавочных неотрицательных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 :
Читатель может проверить, решив задачу симплекс-методом , что она имеет следующие решения:
а максимум целевой функции F max = 13 ,
Система ограничений двойственной задачи сводится к системе уравнений путём введения добавочных переменных y 5 , y 6 :
Решение двойственной задачи симплекс-методом даёт следующий ответ:
а минимум целевой функции Z min = 13 ,
при этом сама целевая функция выражается как
Решив двойственную задачу, убеждаемся в справедливости первой части теоремы 1: двойственная задача тоже имеет конечный оптимум, причём Z min = F max = 13 .
Убедимся, что справедливо также и утверждение теоремы 2. Для этого запишем переменные прямой и двойственной задачи, соблюдая их соответствие:
x 1 ↔ y 5
x 2 ↔ y 6
x 3 ↔ y 1
x 4 ↔ y 2
x 5 ↔ y 3
x 6 ↔ y 4
Как видим, основные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют добавочным переменным двойственной задачи, тоже в порядке их следования. В свою очередь добавочные переменные исходной задачи, в порядке их следования, соответствуют основным переменным двойственной задачи, также в порядке их следования.
Функцию цели, полученную на последнем шаге решения двойственной задачи, выразим через все переменные этой задачи:
Рассматривая коэффициенты при переменных y j в этой функции цели и учитывая их соответствие коэффициентам при переменных x i , получим решение (4; 1; 0; 5; 4; 0) , совпадающее с решением прямой задачи.
Метод, при котором вначале симплекс-методом решается одна из взаимно двойственных задач, а затем оптимум и оптимальное решение другой задачи находятся с помощью теорем двойственности, называется двойственным симплекс-методом .
Теорема 1 (Первая теорема двойственности) . Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и
другая, причем оптимальные значения их целевых функций равны:
Если целевая функция исходной задачи не ограничена, то система ограничений двойственной задачи несовместна.
Примечание: утверждение, обратное по отношению ко второй части первой теоремы двойственности, в общем случае неверно.
Теорема 2 . Компоненты оптимального плана двойственной задачи (обладающие условием неотрицательности ) равны абсолютным значениям коэффициентов
Компоненты оптимального плана двойственной задачи (не ограниченные по знаку ) равны значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.
Теорема 3 . Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из задач симметричной двойственной пары соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любых и :
Теорема 4 (Третья теорема двойственности)
. Компоненты оптимального плана двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции 
по соответствующим аргументам, т.е.
. (7.2)
Экономическая интерпретация третьей теоремы двойственности : компоненты оптимального плана двойственной задачи показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
Пример 9.1. На основе решения примера 5.2 (файл «Алгоритм и примеры симплекс-метода») определим двойственным симплекс- методом оптимальное решение двойственной задачи.
Исходная задача | Двойственная задача |
|
Данная двойственная пара является симметричной. Задачи записаны в стандартной форме, приведем их к каноническому виду:
Исходная задача | Двойственная задача |
|
|
Установим соответствие между переменными взаимно двойственных задач.
На основе решения примера 5.2. симплекс-таблица последней итерации (таблица 5.10) имеет вид:
Таблица 9.3
В соответствии с теоремой 2, оптимальные значения переменных и будут равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.
По таблице 9.3 выпишем целевую функцию исходной задачи, выраженную через свободные переменные ее оптимального решения:
Следовательно, , .
Переменные , , и не присутствуют в целевой функции (т.е. коэффициенты при них равны нулю), следовательно, оптимальные значения соответствующих им переменных , , и равны нулю.
В соответствии с теоремой 1, 
.
Таким образом, оптимальное значение целевой функции , которое достигается при .
Пример 9.2. На основе решения исходной задачи найти оптимальное решение двойственной задачи используя двойственный симплекс-метод.
|
Исходная задача | Двойственная задача |
|
|
Данная двойственная пара является несимметричной. Приведем к каноническому виду двойственную задачу.
|
Исходная задача | Двойственная задача |
|
|
Для установления соответствия переменных двойственной пары введем в исходную задачу две недостающие фиктивные переменные.
|
Исходная задача | Двойственная задача |
|
|
Установим соответствие между переменными взаимно двойственных задач.
Таблица 9.4
Соответствие переменных двойственной пары
Решим исходную задачу симплекс-методом.
Используя метод Жордана-Гаусса, выделим в системе ограничений исходной задачи в качестве базисных переменные и (примечание: не использовать в качестве базисных фиктивные переменные).
В результате преобразований получим следующую матрицу коэффициентов:
.
Система ограничений исходной задачи примет следующий вид:
Выразим базисные переменные через свободные, в результате исходная задача примет следующий вид:
Подставив полученные значения базисных переменных в целевую функцию, она примет следующий вид:
В результате решения симплекс-методом преобразованной исходной задачи на последней итерации получим следующую симплекс-таблицу:
Таблица 9.5
Симплекс-таблица оптимального решения исходной задачи
Предыдущая статья: Что делать, когда плохо на душе и хочется плакать Следующая статья: Служебный роман закончился: Как работать с бывшим парнем?