Детство, отрочество и первое открытие

В комнате, которую предоставили ученику Куленкампов, единственное окно выходило на северную сторону и было неудобным для астрономических наблюдений. Это стало причиной того, что Бессель установил свой секстант в доме своего друга И. Г. Гелле, где было помещение с большими окнами, смотрящими на юг, запад и восток. Сначала он провёл проверку своих часов, и был удивлён полученной точностью - он ожидал от своего прибора куда больших погрешностей . Но, как отмечал он сам, ещё более ценным результатом этого стало умение производить тригонометрические вычисления.

Имя Бесселя обрело широкую известность в научных кругах, и он не раз получал приглашения занять тот или иной пост в других обсерваториях или учебных заведениях. Его приглашали и в Дюссельдорф , и в Грейфсвальд , и в Лейпциг , но Бессель не решается принять ни одно из предложений. Было жалко расставаться со стареющим Шретером и, к тому же, у него не было педагогического опыта.

В 1810 г. Бессель был приглашён в Кёнигсберг . Ему предложили построить там обсерваторию, оснастить её необходимыми инструментами за казённый счёт, а затем возглавить её. Он также обеспечивался бесплатным жильём при будущей обсерватории и бесплатным топливом. Поддержанный Ольберсом. он принимает приглашение. 27 марта года Бессель покидает обсерваторию. Тогда они со Шретером виделись в последний раз. Не доверявший своим вассалам в Германии Наполеон присоединяет часть немецких территорий, в том числе и Лилиенталь, к Франции. В ходе боевых действий французские войска вошли в Лилиенталь и разграбили обсерваторию, поломали инструменты, разбили хронометр. В это время Шретера не было там, а когда он вернулся из Бремена, то был потрясён. Возродить обсерваторию не удалось и в 1840 году были снесены последние следы обсерватории, бывшей одной из лучших в Европе.

Университет и обсерватория

В Кёнигсберге Фридрих Вильгельм Бессель создал обсерваторию и выполнил самые значительные из своих работ, читал лекции в университете. Именно с Кёнигсбергом были тесно связаны его общественная деятельность и семейная жизнь. Здесь он прожил 36 лет, и здесь он был погребён. Кёнигсберг начала XIX века - провинциальный город Пруссии, с готическим кафедральным собором XIV века, почтенного возраста университетом, морской гаванью Пиллау и старинным рыцарским замком. Изначально Кёнигсбергский университет должен был стать одним из идеологических инструментов в колонизаторской политике бывших рыцарей-завоевателей (тевтонцев). Первые два с половиной века существования университета жизнь университета проходила среди бесплодных религиозно-догматических распрей. Если добавить к этому суровый (по европейским меркам) климат Восточной Пруссии и отдалённость города от основных центров немецкой науки, то становится понятным, почему к началу XIX века Кёнигсбергский университет был в научном отношении одним из наиболее отсталых академических заведений в Прусском государстве. Например, на философском и медицинском факультетах этого университета в то время училось всего 11 студентов, а всего в университете - 332 студента. Обсерватории там тоже не было, что кажется даже немного странным, учитывая, что Кёнигсберг был городом-портом. После подписания же Тильзитского мира прусский король Фридрих Вильгельм III жил в Кёнигсберге, что заставило его присмотреться к нуждам этого города. Приглашение Бесселя как раз и было одним из следствий этого. В Кёнигсбергский университет привлекаются свежие научные силы.

В Кёнигсберге его встретили очень благожелательно. Несмотря на отсутствие педагогического опыта, начало педагогической работы оказалось вполне удачным: лекции читал весьма охотно и при полной аудитории. Но некоторые проблемы всё же были - руководство философского факультета негативно относилось к тому, что у них преподаёт человек без учёных степеней. Бесселю ясно дали понять, что ему нужен диплом. Как и всегда в трудную минуту, Бессель обратился за помощью к своим друзьям - Ольберсу и Гауссу, написав им о своих проблемах. Благодаря им Бессель заочно получил диплом докторской степени философского факультета Геттингенского университета. Эти проблемы были связаны с напряжёнными отношениями между старым консервативным крылом университета и новыми молодыми силами. Зато это способствовало сплочению молодых учёных. Были созданы 2 редколлегии, естественнонаучная и гуманитарная. Естественники выпустили первый том своих трудов в 1812 году под названием «Кёнигсбергский архив естествознания и математики». Бессель написал для этого сборника 4 работы: 2 по математике и 2 по астрономии (о Сатурне и «Некоторые результаты наблюдений Брадлея»). Работы Бесселя имели исключительное значение для развития астрономии. Трудно себе представить более полное сочетание гениального теоретика с блестящим практиком; введённые им приёмы наблюдения и их обработки служили непревзойдёнными образцами.

Начало строительства обсерватории задерживалось: Бессель приехал в Кёнигсберг с проектом, казавшемся ему неудовлетворительным, не было даже выбрано место для строительства. Выбирал Бессель между двумя местами, он передал бумаги в военное ведомство, где тоже не смогли выбрать и отправили их в Берлин, где они пролежали ещё 6 недель. В итоге место было выбрано - холм Буттерберг, в самой высокой западной части старого городского вала. Строительство шло медленно и неровно. Трудности прежде всего возникали из-за нехватки средств, что неудивительно: страна была разорена недавней войной, огромная контрибуция, которую Пруссия платила Наполеону, опустошала государственную казну, крайне тяжёлым было политическое положение. Летом 1811 года строительство замерло совсем. Он уже начал помышлять о переезде на другое место, но всё-таки осенью 1811 года ему удаётся достать денег, и он решил остаться в Кёнигсберге. Летом 1812 года через Кёнигсберг проезжал Наполеон Бонапарт, пожелавший осмотреть город. Он был поражён тем, что прусский король мог думать о таких вещах (строительстве обсерватории), в такое время. К ноябрю 1813 года обсерватория была построена, и 12 ноября Бессель выполнил там первые наблюдения. Обсерватория была скромной по размерам. В плане здание имело форму креста, слегка вытянутого с востока на запад. В этом направлении длина здания составляла 26 метров, длина «перекладины креста» в направлении север-юг равнялась 18,4 м. Внешний архитектурный облик обсерватории формировали три главных объёма: двухэтажное, почти квадратное в плане восточное крыло размером 12x13 м, одноэтажная «перекладина» шириною 5,8 м и одноэтажное западное крыло размером около 7x8 м. Главный вход располагался в центре восточной стены и вёл в коридор первого этажа. Все помещения обсерватории соединялись между собой, и можно было попасть в любое из них, не выходя наружу. Важнейшей задачей астрономии первых десятилетий XIX века оставалось определение точных положений светил. Под воздействием этой целевой установки формировалась инструментальная база большинства европейских обсерваторий того времени. Главными приборами были «неподвижные» меридианные инструменты (пассажный, вертикальный круг, позже - меридианный круг), служившие для абсолютных определений координат светил, а также «подвижный» телескоп-рефрактор с микрометром для точных дифференциальных измерений малых углов. С помощью рефрактора определялись положения спутников планет, двойных звёзд, наблюдались кометы и астероиды. Эта тенденция отразилась как в первоначальном оснащении Кёнигсбергской обсерватории, так и в последующих приобретениях Бесселя. Фридрих Бессель восторженно говорит о том счастье, которое испытывает, заведуя таким великолепным, полностью удовлетворяющим его желания учреждением. Бесселю удалось собрать много очень хороших инструментов для своей обсерватории, а в последующие годы инструментальные средства обновлялись и совершенствовались. Частично оборудование обсерватории изготовлялось по чертежам Бесселя и послужило прототипом и образцом для всех других обсерваторий этой эпохи. Была также создана очень большая для обсерватории того времени библиотека - на 2650 томов, преимущественно по астрономии, математике и географии. Основная масса книг была написана при жизни Бесселя. Полностью представлены важнейшие периодические научные издания («Всеобщие географические эфемериды», «Ежемесячные корреспонденции», «Журнал теоретической и прикладной математики» и т. д.). Также были книги, являвшиеся библиографической редкостью, например, «О вращениях небесных сфер» Н. Коперника . Библиотека была образцовым книжным собранием подобного рода и свидетельством глубины и разносторонности научных интересов её собирателя.

Годы зрелости и личность

Из отдельных работ Бесселя важнейшая состояла в том, что он был одним из первых астрономов, решившем вековую задачу о параллаксе звёзд, о масштабе вселенной. Вслед за В. Я. Струве , который в 1837 г. впервые определил расстояние до звезды Вега в созвездии Лиры, В 1838 при помощи гелиометра (астрометрического инструмента для измерения небольших (до 1°) углов на небесной сфере) определил параллакс звезды 61 Лебедя , измерив т.о. расстояние до неподвижных звёзд. Эта звезда оказалась одной из ближайших к Солнечной системе. Также Бессель разработал теорию солнечных затмений , определил массы планет и элементы спутников Сатурна . Наблюдая в течение ряда лет яркие звезды Сириус и Процион , Бессель обнаружил в их движении такие особенности, которые можно было объяснить только тем, что эти звезды имеют спутники. Но эти спутники настолько слабы по светимости, что их нельзя было увидеть в телескопы. Предположение Бесселя впоследствии подтвердились: в 1862 г. обнаружен спутник звезды Сириус, а в 1896 г. - спутник Проциона. Бессель, исследуя форму хвоста кометы Галлея, впервые объяснил её направление действием отталкивающих сил, исходящих из Солнца (напомним, хвосты комет почти всегда направлены в противоположную от Солнца сторону).

Не менее важны работы Бесселя в геодезии . Здесь он так же, как и в измерительной астрономии, выработал инструменты и методы, употребляемые до сих пор, и оставил после себя теоретические работы. Произведённая им совместно с Байером триангуляция Восточной Пруссии (1832) считается образцом подобного рода работ. Из 10 триангуляций Бессель вычислил размеры земного сфероида. Так же известны такие работы Бесселя, как определение длины секундного маятника и изобретение базисного прибора. В математике есть функции его имени, которые нашли широкое применение в физике, технике и астрономии (например, т. н. цилиндрические функции 1-го рода и дифференциальное уравнение, которому они удовлетворяют (уравнение Бесселя), неравенство для коэффициентов ряда Фурье (неравенство Бесселя), а также одна из интерполяционных формул). Бессель изобрёл базисный прибор, сильно облегчивший измерения длин линий на местности.

Бессель пользовался огромным авторитетом не только в Германии, но и далеко за её пределами. В Кёнигсберг стремились многие астрономы из других стран, желающие познакомиться с ним и поучиться у него. Бессель читал публичные лекции почти ежегодно в течение 12 лет. В этих чтениях нашли систематическое изложение его взгляды на многие вопросы астрономии. Кёнигсбергские десятилетия - пора жизненной и научно зрелости, когда ясно виделись цели, когда ушли в прошлое сомнения о правильности выбора жизненного пути и когда нелёгкий повседневный труд вознаграждал Бесселя обильными плодами. Труд учёного составлял главное содержание его жизни. Но Бессель не был ни кабинетным профессором в науке, ни педантом в повседневности. В значительной мере его достижениям в научной области способствовала та атмосфера взаимной доброжелательности, которую неизменно формировала среди окружавшие его людей личность Бесселя. Он имел близких друзей, многочисленных коллег и корреспондентов, был глубоко почитаем учениками. Он был счастлив в семье, в которой всегда находил отдохновение и любовь. Бессель был очень прост в обращении с людьми, всегда доброжелателен и внимателен к собеседнику. Эти качества он ценил и в других. Он органически не переносил лицемерия и криводушия.

Среди коллег и друзей Бесселя было немало лиц, близко знавших при жизни кёнигсбергского мыслителя Иммануила Канта . После смерти философа они организовали «Общество друзей Канта», членами которого стали, в том числе, тесть Бесселя профессор К. Г. Гаген, философ Хр. Я. Краус, представители городских властей и т. д. - всего 20-30 человек. Ежегодно в день рождения Канта - 22 апреля - «Общество» собиралось на торжественный обед, посвящённый этому событию. Со временем в члены «Общества» был избран и Бессель. Он предложил оживить традиционные собрания шуточным обрядом выборов «бобового короля». В торт, подаваемый на десерт, запекался серебряный боб. Нашедший в своём куске боб становился «бобовым королём», а его соседи за столом слева и справа - «бобовыми министрами». «Король» готовил к следующему собранию шуточную «бобовую» речь о знаменитом философе. Этот обряд стал традицией «общества друзей Канта».

Астрономы мира. Фридрих Вильгельм Бессель. К 220 - летию со дня рождения

Фридрих Вильгельм Бессель родился 22 июля 1784 г. в г. Миндене в Вестфалии (ныне в ФРГ) в семье мелкого судебного чиновника и с 15 лет должен был встать на самостоятельный трудовой путь. Правда, это вполне отвечало тогда и его желаниям: с ранних лет ему было свойственно стремление к практической деятельности и лишь к тем знаниям, которые можно было тут же применить. В 13 лет он бросил гимназию из-за ненависти к зубрежке латыни и продолжал обучение дома под руководством отца. Обладая исключительно острым зрением, он в 14 лет открыл визуально двойственность эпсилон Лиры, что не могло не вдохновить его на дальнейшие наблюдения неба. Но с не меньшей радостью и надеждами он, по рекомендации друга семьи, отправился в Бремен и с 1799 г. на целых семь лет занял место ученика конторщика в крупном торговом доме «Кулепкамп и сыновья».

Практический ум Бесселя нашел для себя и в этой области богатую пищу. Бессель быстро постигал основы и тонкости коммерческого дела, мечтая о далеких плаваниях... Но, когда в 1805 г. ему было предложено место и значительное содержание в 700 талеров в год, он внезапно, по выражению известного историка астрономии Агнессы Кларк, «предпочел бедность и звезды», поступив ассистентом на частную обсерваторию И. Шрётера в пригороде Бремена Лилиентале, с ничтожным жалованьем в 100 талеров. Для самого Бесселя это, конечно, не было внезапным. Путь в науку был в значительной степени предопределен самим его характером и складом ума. Систематичность, основательность, прирожденный математический талант превращали даже будущего коммерсанта... в ученого: он «слишком» серьезно готовился и к своей торговой карьере и, помимо изучения языков (английского, испанского, французского), географии и обычаев народов, считал совершенно необходимым (вопреки представлениям окружавших его людей) досконально изучить и освоить навигационную астрономию. Уже первые его успехи в этом, когда он к 1803 г. по наблюдению покрытия звезд Луной с помощью грубых самодельных инструментов сумел определить долготу Бремена, окрылили его.

Не удовлетворившись английским учебником по практической навигации, где формулы и правила давались без вывода и научного обоснования, Бессель углубился в изучение собственно астрономии (опять-таки по весьма «практической» причине: без вывода формула не запоминалась им). Он изучал «Астрономию» Лаланда и, узнав о законах Кеплера, сразу захотел вычислить орбиту только что открытой малой планеты Цереры! В написанных по этому поводу словах из его письма к брату: «Иначе к чему мне законы Кеплера?» - четко отразился стиль Бесселя - будущего ученого. Он относился к знаниям как к рабочему инструменту для решения конкретных научных задач. И если в 1801 г., отвлеченный от астрономии ежедневной 12-часовой работой, он признавался, что позабыл даже знакомые прежде звезды, то спустя год он уже решил самостоятельно задачу с орбитой Цереры и писал брату, что «математика» самая увлекательная наука из всех наук. Вместе с астрономией она заменяет мне... развлечения, которые я знаю только по имени».

Между тем труднейшую «Небесную механику» Лапласа и необходимую для ее понимания высшую математику он мог изучать лишь в свободные от работы утренние и ночные часы. Но подлинным посвящением в астрономию стало его знакомство в 1804 г. с выдающимся бременским астрономом и врачом Г. В. М. Ольберсом. Поводом к этому послужило вычисление Бесселем в 1804 г. элементов орбиты кометы Галлея по наблюдениям Т. Гарриота и Лорпорлея 1607 г. Работа вызвала восторженный отзыв Ольберса, была опубликована с его предисловием, в котором он представлял Бесселя ученому миру, и положила начало большой дружбе этих двух астрономов, которая дополнилась еще и дружбой Бесселя и К. Гаусса. 19 марта 1806 г. Бессель начал в Лилиентале свою научную деятельность с проверки всех измерительных приборов и инструментов обсерватории и пересмотра методов математической обработки результатов наблюдений, хотя одновременно продолжал заниматься кометами и за вычисление орбиты кометы 1807 г. получил премию им. Лаланда. Точность измерений положений и движений небесных светил зависит, помимо совершенства инструментов от точности самих опорных каталогов звезд, которые во времена Бесселя не отличались строгостью и, главное, были несравнимы друг с другом из-за субъективного подхода наблюдателей к учету разных ошибок.

Между тем с течением времени назрела необходимость в ревизии основных астрономических постоянных: прецессии, нутации, аберрации а также рефракции, знание которых было необходимо при определении собственных движений звезд. Несопоставимость различных каталогов коренилась и в так называемой «личной ошибке» наблюдателя, открытой Бесселем. Создание новой точной астрометрии, опиравшейся на математическую теорию ошибок инструментов, на строгие методы обработки наблюдений, стало главным делом жизни Бесселя. Эту свою миссию Бессель в полной мере мог выполнить в новой обсерватории в Кенигсберге (ныне Калининград), которая была построена и оснащена инструментами по его собственному плану и где впервые наблюдения и обработка результатов велись по новой строго научной системе методами, введенными Бесселем.

Именно ему в 1809 г. было предложено создать и возглавить эту вторую после Берлинской (1705 г.) правительственную (университетскую) обсерваторию в Германии. С 1810 г. он стал также профессором математики и астрономии в Кенигсбергском университете. С 1813 г. - года открытия обсерватории - и до конца своей жизни Бессель не прекращал напряженной, исключительно плодотворной наблюдательной и вычислительной работы в Кенигсберге. Он создал немецкую школу точных наблюдений в астрономии. Его блестящим учеником и продолжателем стал Ф. Аргеландер. В России во многом по его стопам пошла и достигла на этом пути величайших успехов Пулковская обсерватория, с первым директором которой, как и с некоторыми другими петербургскими академиками, Бессель поддерживал тесные дружеские связи. Первой крупной работой Бесселя в астрометрии стала начатая им еще у Шрётера обработка самых точных в XVIII в. наблюдений положений звезд Брадлея за 1750- 1762 гг. на основании учета всех погрешностей его инструментов. Составленный в результате точный каталог положений 3222 звезд на эпоху 1755 г. Бессель опубликовал в работе «Основы астрономии» (1818 г.).

Путем сравнения этого каталога с новыми каталогами Пиацци (1803 и 1814 гг.) Бессель уточнил постоянные прецессии, нутации, аберрации, определил собственные движения ряда звезд. Составленные им новые таблицы рефракции надолго вошли в практику астрономических наблюдений. В 1821-1833 гг. Бессель провел колоссальную самостоятельную работу на меридианном круге Рейхенбаха, измерив положения всех звезд до 9" в зоне склонений от -15° до +45°.(всего 75011 наблюдений). Работа впервые сопровождалась тщательным исследованием и учетом всевозможных погрешностей инструмента и самого наблюдателя. Значительная часть этих наблюдений, обработанная дополнительно, краковским астрономом М. Вейссе, была опубликована Петербургской академией наук в 1846 г. уже после кончины Бесселя («Каталог Вейссе», 31895 звезд в зоне: -15°-+15°). Новым крупным шагом в развитии практической астрономии стали «Кенигсбергские таблицы» Бесселя (1830 г.) где излагались разработанные им на основе теории вероятностей и способа наименьших квадратов методы редукции наблюдений. Они впервые делали астрометрию стандартизованной современной наукой. Полная реорганизация астрометрических наблюдений Бесселем позволила резко повысить их точность до 0",1, т. е. в 10 раз по сравнению с точностью наблюдений Брадлея. В результате почта одновременно трем астрономам В. Я. Струве, Ф. В. Бесселю и Т. Гендерсону удалось впервые измерить неуловимые в течение столетий звездные параллаксы!

Бессель безуспешно пытался решить эту задачу еще в 1815 г. Но успех был достигнут им лишь спустя 23 года с помощью нового и самого точного в то время измерительного инструмента - гелиометра Фраунгофера, изготовленного для Кенигсбергской обсерватории. Точность измерения малых углов на нем достигала 0",05. В отличие от всех, кто до него пытался измерить звездный параллакс, Бессель выбрал звезду не по яркости, а по значительной величине собственного движения (что казалось ему более надежным признаком ее близости). Такой «летящей звездой» оказывалась слабая двойная звезда (5,6 и 6,3m) 61 Лебедя с собственным движением 5",2 в год. Применив, как и Струве, более эффективный метод дифференциальных параллаксов (метод Галилея), Бессель с июля 1837 по октябрь 1838 гг. провел длинный ряд наблюдений относительных положений исследуемой двойной системы звезд и двух намного более слабых (т. е. далеких) соседних с нею звездочек и уловил параллактическое смещение 61 Лебедя. Опубликованное им в ноябре 1838 г. значение ее параллакса (0",314) оказалось ближе к современным данным (0",292), чем повторный результат, полученный им по 402 измерениям, законченным к 1840 г. (0",3483).

Немного ранее опубликованные измерения В. Я. Струве (для Веги), результат Бесселя (который был воспринят современниками с наибольшим доверием) и появившиеся вскоре данные Т. Гендерсона (для а Центавра) впервые убедительно показали колоссальность масштабов звездной Вселенной. Интересно, что эти точные измерения тригонометрических параллаксов в целом подтвердили первые фотометрические оценки межзвездных расстояний Гюйгенса и особенно Ламберта (для Сириуса). Если измерение звездного параллакса принесло Бесселю золотую медаль Лондонского королевского астрономического общества и мировую славу, то второе замечательное открытие его в звездной астрономии не получило признания при жизни ученого. Между тем оно имело принципиальное значение. Изучая собственные движения звезд, Бессель в 1834 г. обратил внимание на еле заметные, но характерные особенности этого движения у самой яркой звезды неба - Сириуса, а к 1840 г. установил то же для самой яркой в созвездии Малого Пса - звезды Процион: пути обеих звезд оказывались слегка волнистыми, или «змеевидными».

Для объяснения явления Бессель выдвинул смелую идею, предположив, что обе звезды имеют невидимых темных спутников, которые возмущают прямолинейное, на наблюдаемом отрезке времени, движение главной, видимой звезды. Этот вывод он опубликовал в результате длинного ряда тщательнейших наблюдений на новом инструменте обсерватории - меридианном круге Репсольда. Период обращения спутников он оценил в обоих случаях примерно в 50 лет. Заключение Бесселя, развитое им вскоре в письме к А. Гумбольдту, имело и намного более общий смысл, нежели открытие новых двойных систем звезд, пусть даже с весьма слабо светящимися спутниками (которые, кстати, тогда принимали за формирующиеся, остывающие планеты). По поводу своего открытия Бессель писал: «Тот факт, что мы видим бесчисленное множество ярко блистающих звезд, не может еще сам по себе служить доводом для того, чтобы отрицать возможность существования бесчисленного множества темных невидимых звезд».

Это заявление Бесселя, хотя и не совсем новое (ибо существование таких тел предполагали Кант и Лаплас), но впервые утверждавшее существенную (а не экзотическую) роль таких тел во Вселенной, позволяет в новом, современном нам смысле назвать Бесселя если не основателем (как это утверждалось в конце XIX - начале XX вв.), то предвестником «астрономии невидимого». Эта его идея перекликается с современными поисками «скрытой массы» во Вселенной. Но она не укладывалась в общепринятую тогда астрономическую картину мира. Лишь в 1851 г. американский астроном Петере подтвердил вывод Бесселя о Сириусе и рассчитал положение спутника. А в 1862 г, сын и отец Кларки - знаменитые американские оптики, при испытании 18-дюймового рефрактора внезапно обнаружили этот спутник в виде звездочки не ярче 8". Спутник Проциона впервые обнаружил в 1896 г. американский астроном Шеберле на Ликской обсерватории (Маунт Гамильтон в Калифорнии) как звездочку 13m. Подтвердились и предсказанные Бесселем периоды обращения спутников.

Но главный сюрприз был впереди: в 1914 г. было установлено для Сириуса (У. Адаме, США), а затем и для Проциона, что оба спутника являются представителями нового неизвестного ранее типа звезд - «белых карликов» (со средней плотностью вещества в сотни кг/см3!). Бессель близко подошел и к открытию еще одной планеты за Ураном. О своем убеждении в этом он сообщил в письме к Д. Гершелю в 1842 г., проанализировав материалы об особенностях движения Урана (которые Бессель собрал с помощью своего ученика Ф. В. Флеминга). Планета (Нептун) была открыта спустя несколько месяцев после смерти Бесселя, причем с помощью Берлинских академических карт звездного неба, изданных по инициативе и с участием Бесселя. (Продолжение этого картографирования неба завершил Аргеландер своим знаменитым «Боннским обозрением».) В 1844 г. в письме к А. Гумбольдту Бессель сделал другой странный для его современников вывод.

Измеряя в течение двух лет широту Кенигсберга, он заключил, что высота полюса непостоянна, и объяснил это движением оси вращения в теле планеты. Предсказание Бесселя стало доказанным фактом уже к концу XIX в. В планетной астрономии Бесселю принадлежит разработка теории и составление таблиц солнечных затмений (теория используется и в наши дни), определение массы и сжатия Юпитера, массы Сатурна, изучение его колец, орбит его спутников, особенно Титана. В 1835 г. в связи с возвращением кометы Галлея Бессель построил одну из первых теорий движения частиц в голове комет (пионером в этой области был Г. В. Брандес) - так называемую «фонтанную». Это была первая математическая теория комет. Бессель опирался в ней на идею существенной роли полярных (электрических) сил в свечении хвоста комет (высказывавшуюся еще Ломоносовым) и на идею отталкивательной силы Солнца, действующей на «вещество светлых лучей», выходящих из ядра кометы. (Идея высказана была впервые Кеплером, но фактом, научно доказанным, световое давление на газы стало только после опытов П. Н. Лебедева, 1909 г.).

Теория Бесселя стимулировала работы крупнейшего теоретика комет конца XIX - начала XX вв. Ф. А. Бредихина. Помимо астрономии. Бессель внес значительный вклад в геодезию. В 1832-1838 гг. он совместно с И. Байером провел градусные триангуляционные измерения в Восточной Пруссии, откликнувшись на пожелания Петербургской академии наук. В работе существенную роль сыграл изобретенный Бесселем базисный прибор. Измеренная им дуга меридиана (1°30"29") сомкнулась с большой дугой, измеренной В. Я. Струве и К. И. Теннером (более 20°). Но главным результатом Бесселя было здесь определение им [на основе анализа всех имевшихся тогда (десяти) градусных измерений в Европе и Азии] элементов земного сфероида, которые оставались более века самыми точными (до введения в 1941 г. в геодезии эллипсоида Красов-ского).

В историю науки Бессель вошел и как один из крупных математиков, автор теории применения так называемых цилиндрических функций («функции Бесселя») для вычисления возмущенного движения планет. Эти функции, как и соответствующее им дифференциальное «уравнение Бесселя», впоследствии нашли и значительно более широкое применение в теоретической физике (в теории теплопроводности, диффузии, колебаний). Бессель опубликовал около 400 научных работ и оставил большую переписку с учеными, где также излагал свои идеи и результаты. Он читал и популярные лекции по физике и астрономии. Заслуги ученого были высоко оценены избранием в члены многих академий, в том числе Берлинскую (1812 г.), и в иностранные почетные члены Петербургской академии наук (1814 г.), а также многих научных обществ. Умер Ф. В. Бессель 17 марта 1846 г. в Кенигсберге и был похоронен близ обсерватории. Именем Бесселя назван кратер на видимой стороне Луны.

По материалам А.И. Еремеевой: АК-1984, АК-1989. Распознавание и подготовка в электронном виде -

Вступление

В этой курсовой работе мы познакомимся с уравнением Бесселя и его применением в уравнениях математической физики. Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Фридрих Вильгельм Бессель

Немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил орбиту кометы Галлея. В 1806 стал ассистентом крупного астронома И. Шрётера в Лилиентале, вскоре приобрел репутацию видного астронома-наблюдателя и вычислителя-математика. В этом качестве в 1810 был приглашен в Кёнигсбергский университет для организации обсерватории, директором которой оставался до конца жизни. Полагая, что в результаты наблюдений необходимо вносить поправки, учитывающие наличие самых незначительных факторов, Бессель разработал математические методы коррекции результатов наблюдений. Первой работой в этом направлении стала корректировка положений звезд в каталоге, составленном в 18 в. английским астрономом Дж. Брадлеем. В дальнейшем Бессель сам вел наблюдения за звездами; в 1821-1833 он определил положение более 75 тыс. звезд и составил обширные каталоги, которые легли в основу современных знаний о звездном небе.

Бессель одним из первых измерил параллаксы звезд и расстояние до них. В 1838 определил расстояние до двойной звезды 61 Лебедя, оказавшейся одной из самых близких к Солнечной системе. Наблюдая в течение ряда лет яркие звезды Сириус и Процион, Бессель обнаружил в их траектории такие особенности, которые можно было объяснить только наличием спутников. Эти предположения впоследствии подтвердились: в 1862 был обнаружен спутник Сириуса, а в 1896 - спутник Проциона. Известны работы Бесселя в области геодезии (определение длины секундного маятника, изобретение базисного прибора).

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т.п., например:

· электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

· теплопроводность в цилиндрических объектах;

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению:

где - постоянная. Это уравнение встречается также во многих вопросах физики, механики, астрономии и т.п. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя . Так как уравнение (1) имеет особую точку x = 0, то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:

Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x, будем иметь:

Из первого равенства находим два значения для р: p 1 = и p 2 =-

Если мы возьмем первый корень р = , то из формул (5) и (6) получим:

Отсюда следует, что a 2k+1 =0 (k=2, 3, 4,…), а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно, по формулам:

Из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов имеет такой вид:

Что касается коэффициента a 0 , который был до сих пор совершенно произвольным, то выберем его таким образом:

где Г () - гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

При таком выборе а 0 коэффициент а 2k может быть записан в виде:

Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим следующую основную формулу:

Отметим, что формула (10) дает возможность определить гамма-функцию для отрицательных значений, а также и для всех комплексных значений.

Пусть k - некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим

Полагая в этой формуле = 0, найдем, в силу равенства

другое важное свойство гамма-функции, выражаемое

Г (k+1) = k! (12)

бессель уравнение функция ортогональность

С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента а 2k примет следующий вид:

Внося найденные значения коэффициентов а 2k+1 и а 2k в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции Бесселя 1-го рода - го порядка и обозначается обычно через J V (x).

Таким образом,

Ряд (14) сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя признак Даламбера.

Используя второй корень p 2 =-, можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения (14) простой заменой на -, так как уравнение (1) содержит только 2 и не меняется при замене на -:

Если не равно целому числу, то частные решения J V (x) и J- V (x). уравнения Бесселя (1) будут линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней х. Если же есть целое положительное число n, то в этом случае легко обнаружить линейную зависимость решений J n (x) и J -n (x). Действительно, при целом для к = 0, 1, 2,…, n- 1 величина -+k+1 принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений k: Г(-+k+1)=, что следует из формулы:

Таким образом, первые n членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим

или, положив k= n + l, получим

Отсюда следует, что при целом n функции J n (x) и J -n (x) линейно зависимы.

Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу n, необходимо найти второе, линейно-независимое от J V (x), частное решение. Для этого введем новую функцию Y v (х), положив

Очевидно, что эта функция также является решением уравнения (1), так как она представляет собою линейную комбинацию частных решений JV (x) и

J- V (x) этого уравнения. Затем нетрудно убедиться, на основании соотношения (16), что при, равном целому числу n, правая часть равенства (17) принимает неопределенный вид. Если раскрыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее представление функции Y n (x) при целом положительном n:

В частном случае, при n = 0, функция Y o (х) представляется таким образом:

Введенная здесь функция Y v (х) называется функцией Бесселя 2-го рода - го порядка или функцией Вебера.

Функция Вебера Y v (х) является решением уравнения Бесселя также и в том случае, когда - целое число.

Функции J V (x) и Y v (х), очевидно, линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком - дробном или целом - образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

где С 1 и С 2 - произвольные постоянные.

Немецкий астроном и геодезист, член Берлинской АН (1812). Р. в г. Миндене в многодетной семье мелкого чиновника. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г. В. Ольберса . В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И. И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни.

Бессель является одним из основоположников астрометрии. Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. А. Паннекук считает, что Бессель установил новый, более высокий стандарт как для конструкторов астрономических инструментов, так и для работы самих астрономов. Усовершенствованные Бесселем методы редукции астрономических наблюдений описаны им в труде «Кёнигсбергские таблицы» (1830).

Первая большая работа Бесселя - переработка наблюдений положений звезд известного каталога Брадлея, составленного в 40-50-е годы XVIII в. Результаты этой работы были обобщены в опубликованном в 1818 труде «Основы астрономии», в котором, кроме каталога 3200 звезд, приведены полученные Бесселем значения постоянных рефракции, прецессии и нутации с точностью гораздо большей, чем во всех предыдущих определениях этих величин. В процессе этой работы были составлены достаточно точные таблицы рефракции.

Бессель был одним из величайших астрономов-наблюдателей. В 1821-1833 на установленном им меридианном круге Рейхенбаха он провел наблюдения более 75 000 звезд в зоне от +47 до -16 по склонению. Наблюдал в течение ряда лет на меридианном круге яркие звезды Сириус и Процион, установил в 1844, что движение этих звезд происходит не по прямой, а по волнистой линии. Предположил, что у каждой из этих звезд есть невидимый спутник, иными словами, это системы из двух тел, обращающихся вокруг общего центра тяжести. Такое предположение было подтверждено в 1862 А. Кларком , которому удалось непосредственно наблюдать спутник Сириуса, и в 1896 Дж. Шеберле, обнаружившим спутник Проциона. В 1838, проанализировав собственные наблюдения двойной звезды 61 Лебедя на гелиометре Фраунгофера, Бессель измерил ее параллакс, который оказался равным 0,37" (в 1840 получил более точное его значение - 0,35"). Почти одновременно с Бесселем Т. Хендерсон в обсерватории на мысе Доброй Надежды измерил (1839) параллакс α Центавра - 0,91", а В. Я. Струве в Дерптской обсерватории определил (1839) параллакс α Лиры - 0,26". Эти работы были первыми успешными измерениями параллаксов после многовековых попыток астрономов найти расстояния до звезд.