23 октября 2016 в 16:37

Красота чисел. Как быстро вычислять в уме

Научно-популярное

Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман! » поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (50 2 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов - около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней - самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 - это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 - это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт » 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.

При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 85 2 = 7225

Почему действует это правило, видно из формулы:

(10Х + 5) 2 = 100Х 2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения:)
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 цифры)

Для цифр от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр от 50 до 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга .

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна - буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат . Даже первоклассник знает, что «двукратно два - четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа отменнее перемножать в столбик либо на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.

Инструкция

1. Разложите всякое двузначное число на составляющие, выделив число единиц. В числе 96 число единиц - 6. Следственно дозволено записать: 96 = 90 + 6.

2. Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.

3. Подобно сделайте со вторым число м: 6 * 6 = 36

4. Перемножьте числа между собой и удвойте итог: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Сложите итоги второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть итог возведения в квадрат числа 96. Позже некоторой тренировки сумеете стремительно делать шаги в уме, поражая родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте итоги всего шага, дабы не запутаться.

6. Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Запомните нестандартный метод возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите число десятков: в числе 75 их 7 штук.

9. Умножьте число десятков на следующую цифру в число вом ряду: 7 * 8 = 56.

10. Припишите справа число 25: 5625 - итог возведения в квадрат числа 75.

11. Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, следственно последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 - итог.

12. Обучитесь возводить в квадрат негативные числа: -95 в квадрат е равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Подобно -74 в квадрат е равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении 2-х негативных чисел неизменно получается правильное число : -95 * -95 = 9025. Следственно при возведении в квадрат можете легко не обращать внимания на знак «минус».

Возведение числа в степень является одним из простейших алгебраических действий. В обыденной жизни возведение используется редко, а вот на производстве при выполнении расчетов – фактически повсюду, следственно пригодно припомнить, как это делается.

Инструкция

1. Представим, что мы имеем какое-то число а, степенью которого является число n. Построить число в степень обозначает, что нужно умножить число а на самоё себя n раз.

2. Разглядим несколько примеров.Дабы построить число 2 во вторую степень, нужно произвести действие:2х2=4

3. Дабы построить число 3 в пятую степень, нужно исполнить действие:3х3х3х3х3=243

4. Существует общепринятое обозначение 2-й и третьей степени чисел. Словосочетание «вторая степень» обыкновенно заменяется словом «квадрат», а взамен словосочетания «третья степень» традиционно говорят «куб».

5. Как видно из приведенных выше примеров, продолжительность и трудоемкость вычислений зависит от величины показателя степени числа. Возведение в квадрат либо куб – достаточно простая задача; возведение числа в пятую либо огромную степень теснее требует огромнее времени и аккуратности в вычислениях. Для убыстрения данного процесса и исключения ошибок дозволено воспользоваться особыми математическими таблицами либо инженерным калькулятором.

Для короткой записи произведения одного и того же числа самого на себя математики придумали представление степени. Следственно выражение 16*16*16*16*16 дозволено записать больше коротким методом. Оно будет иметь вид 16^5. Выражение будет читаться как число 16 в пятой степени.

Вам понадобится

Бумага, ручка.

Инструкция

1. В всеобщем виде степень записывается как a^n. Эта запись обозначает, что число a умножается на себя n раз.Выражение a^n именуется степень ю,a – это число, основание степени,n – это число, показатель степени. Скажем, a = 4, n = 5,Тогда запишем 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1 024

2. Степень n может быть негативным числомn = -1, -2, -3 и т.д.Дабы вычислить негативную степень числа, его нужно опустить в знаменатель.a^(-n) = (1/a)^n = 1/a*1/a*1/a* … *1/a = 1/(a^n)Разглядим пример2^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Как видно из примера, -3 степень от числа 2 дозволено вычислить различными методами.1) Вначале посчитать дробь 1/2 = 0,5; а после этого построить в степень 3,т.е. 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Вначале построить знаменатель в степень 2^3 = 2*2*2 = 8, а после этого вычислить дробь 1/8 = 0,125.

4. Сейчас вычислим -1 степень для числа, т.е. n = -1. Правила, рассмотренные выше, подходят для этого случая.a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/aНапример, построим число 5 в -1 степень 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. Из примера наглядно видно, что число в -1 степени – это обратная дробь от числа.Предположим число 5 в виде дроби 5/1, тогда 5^(-1) дозволено арифметически не считать, а сразу написать дробь, обратную 5/1, это 1/5.Так, 15^(-1) = 1/15,6^(-1) = 1/6,25^(-1) = 1/25

Обратите внимание!
При возведении числа в негативную степень следует помнить, что число не может быть равно нулю. Согласно правилу, мы обязаны число опустить в знаменатель. А нуль не может быть в знаменателе, так как на нуль разделять невозможно.

Полезный совет
Изредка при работе со степенями для облегчения расчета дробное число намеренно заменяют целым в -1 степени1/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

При решении арифметических и алгебраических задач изредка требуется построить дробь в квадрат . Проще каждого это сделать, когда дробь десятичная – довольно обыкновенного калькулятора. Впрочем если дробь обычная либо смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут появиться некоторые затруднения.

Вам понадобится

калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

1. Дабы построить десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х?». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Скажем, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2. Дабы построить в квадрат десятичную дробь на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена вероятность возведения числа в квадрат даже при отсутствии особой кнопки. Следственно заблаговременно ознакомьтесь с инструкцией к определенному калькулятору. Изредка примеры «хитроумного» возведения в степень приведены на задней крышке либо на коробке калькулятора. Скажем, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат довольно нажать кнопки «х» и «=».

3. Для возведения в квадрат обычной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь дальнейшим правилом:(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обычной дроби), то заранее приведите ее к обычному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Если возводить в квадрат обычные (не десятичные) дроби доводится непрерывно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Дабы осведомить программе, что с вводимым числом нужно обращаться как с обычной дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, скажем, дроби 2/3 надобно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непринужденно в клетке сохранится в начальном виде. Помимо того, при применении математических функций, доводами которых являются обычные дроби, итог также будет представлен в виде обычной дроби. Следственно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Способ выделения квадрата двучлена используется при облегчении массивных выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его традиционно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.

Инструкция

1. Способ выделения полного квадрата двучлена основан на применении 2-х формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для 2-й степени и разрешают упростить желанное выражение так, дабы дозволено было провести дальнейшее сокращение либо разложение на множители:(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Согласно этому способу из начального многочлена требуется выделить квадраты 2-х одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Использование этого способа имеет толк, если старшая степень слагаемых не поменьше 2. Представим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:4·y^4 + z^4

3. Для решения задачи необходимо воспользоваться способом выделения полного квадрата. Выходит, выражение состоит из 2-х одночленов с переменными четной степени. Следственно, дозволено обозначить всякий из них через m и n:m = 2·y²; n = z².

4. Сейчас надобно привести начальное выражение к виду (m + n)². В нем теснее присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Необходимо добавить его неестественно, а потом вычесть:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² – 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

5. В получившемся выражении дозволено увидеть формулу разности квадратов:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

6. Выходит, способ состоит из 2-х этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Способ выделения полного квадрата двучлена может использоваться не только самосильно, но и в комбинации с другими способами: вынесения за скобки всеобщего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

7. Пример 2.Выделите полный квадрат в выражении:4·y² + 2·y·z + z².Решение.4·y² + 2·y·z + z² = = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Способ используется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y? + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ? 0. a·y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Эти расчеты приводят к представлению дискриминанта, тот, что равен (b? – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Операция возведения в степень является «бинарной», то есть имеет два непременных входных параметра и один выходной. Один из начальных параметров именуется показателем степени и определяет число раз, которое операция умножения должна быть применена ко второму параметру – основанию. Основание может быть как правильным, так и негативным числом .

Инструкция

1. Используйте при возведении в степень негативного числа обыкновенные для этой операции правила. Как и для позитивных чисел, возведение в степень обозначает умножение начальной величины на саму себя число раз, на единицу меньшее показателя степени. Скажем, дабы построить в четвертую степень число -2, его надобно трижды умножить на себя: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Умножение 2-х негативных чисел неизменно дает позитивное значение, а итогом этой операции для величин с различными знаками будет число негативное. Из этого дозволено сделать итог, что при возведении негативных значений в степень с четным показателем неизменно должно получаться число позитивное, а при нечетных показателях итог неизменно будет поменьше нуля. Используйте это качество для проверки произведенных расчетов. Скажем, -2 в пятой степени должно быть числом негативным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой – позитивным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. При возведении негативного числа в степень показатель может быть приведен в формате обычной дроби – скажем, -64 в степени?. Такой показатель обозначает, что начальную величину следует построить в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а тут вам следует обратить внимание на иную.

4. Извлечение корня – нечетная функция, то есть для негативных вещественных чисел она может использоваться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Следственно, если в условиях задачи требуется построить негативное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте вначале операции из первых 2-х шагов, применяя в качестве показателя степени числитель дроби, а после этого извлеките корень со степенью знаменателя.

Степенной формат записи числа – это сокращенная форма записи операции умножения основания на само себя. С числом, представленным в такой форме, дозволено осуществлять те же операции, что и с всякими другими числами, в том числе и возводить их в степень . Скажем, дозволено построить в произвольную степень квадрат числа и приобретение итога на современном ярусе становления техники не составит какой-нибудь сложности.

Вам понадобится

Доступ в интернет либо калькулятор Windows.

Инструкция

1. Для возведения квадрат а в степень используйте всеобщее правило возведения в степень числа, теснее имеющего степенной показатель. При такой операции показатели перемножаются, а основание остается бывшим. Если основание обозначить как x, а начальный и добавочный показатели степени – как a и b, записать это правило в всеобщем виде дозволено так: (x?)?=x??.

2. Для утилитарных расчетов проще каждого воспользоваться поисковой системой Google – в нее встроен дюже легкой в применении калькулятор. Скажем, если требуется построить в пятую степень квадрат числа 6, перейдите на основную страницу поисковика и введите соответствующий запрос. Сформулировать его дозволено так: (6^2)^5 – тут значок ^ обозначает степень . А дозволено самосильно рассчитать результирующий показатель степени в соответствии с формулой из предыдущего шага и сформулировать запрос так: 6^10. Либо доверить сделать это Google, введя такой запрос: 6^(2*5). Для всякого из этих вариантов калькулятор поисковика вернет идентичный результат: 60 466 176.

3. При отсутствии доступа в интернет вычислитель Google дозволено заменить, скажем, встроенным калькулятором Windows. Если вы используете версии Seven либо Vista этой ОС, раскройте основное меню системы и наберите каждого две буквы: «ка». Система отобразит в основном меню все программы и файлы, которые у нее ассоциируется с этим сочетанием. В первой строке будет ссылка «Калькулятор» – кликните по ней мышкой, и приложение будет запущено.

4. Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, дабы в интерфейсе приложения возникла кнопка с функцией возведения в произвольную степень . После этого введите основание – в примере из второго шага это число 6 – и кликните вначале по кнопке x?, а после этого по кнопке x?. Введите показатель степени, в которую надобно построить квадрат – в использованном примере это число 5. Нажмите кнопку Enter, и калькулятор отобразит окончательный итог операции.

Видео по теме

Полезный совет
Дабы тренировка не была тоскливой, позовите на подмога друга. Пускай он пишет двузначное число, а вы - вывод возведения этого числа в квадрат. После этого меняйтесь местами.

Возведение в квадрат трехзначных чисел - впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 - это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ - 37 249.

Попробуем возвести в квадрат 706.

При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.

Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436.

Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 6 2 и 7 2 . Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 единиц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 314 2 .

В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.

Если вам нужно время для подсчета 14 2 , повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вычислить 14 2 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.

Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.

Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?

Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное - суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.

Вот еще более сложный пример: 863 2 .

Первая проблема - надо решить, какие числа перемножать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое - больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.

1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.

2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.

Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа имеют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна равняться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.

Затем проводим следующие вычисления.

Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведения в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих главах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоминать такие числа.

Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче - на возведении в квадрат числа 359.

Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!

Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычислим 987 2 .

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Что за дверью номер 1?

Математической банальностью 1991 года, которая поставила всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант - женщины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Книге рекордов Гиннесса) - в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.

Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сделки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими - козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой дверью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая - с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?

А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз окажется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.

Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего первого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с вероятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Конечно, все эти люди были неправы.

*квадраты до сотни